Bir fonksiyonun maksimum ve minimumu (göreceli ekstremumlar)

Bu yazıda bir fonksiyonun maksimum ve minimumunun nasıl hesaplanacağını keşfedeceksiniz, iki örneği adım adım çözerek size açıklıyoruz. Ayrıca bir fonksiyonun maksimumları ve minimumları üzerinde adım adım alıştırmalar yapabileceksiniz.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri nelerdir?

Bir fonksiyonun maksimumları, fonksiyonun en büyük değerleridir ve bir fonksiyonun minimumları, fonksiyonun en küçük değerleridir. Bir fonksiyonun maksimumları ve minimumları, yalnızca ortamlarındaki en büyük veya en küçük değerleri temsil ettiklerinde göreceli uç noktalardır , ancak tüm fonksiyonun en büyük veya en küçük değerlerini temsil ettiklerinde mutlak uç noktalardır .

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumları

Ayrıca fonksiyonun büyümesini ve azalmasını inceleyerek göreceli aşırılıkları da tanımlayabilirsiniz:

  • Fonksiyon artandan azalana doğru gittiğinde nokta göreceli maksimumdur .
  • Fonksiyon azalan durumdan artan yöne gittiğinde bir nokta göreceli minimumdur .

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumu nasıl bulunur?

Bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevinden, bir fonksiyonun bir noktada göreceli bir ekstremuma sahip olup olmadığını ve söz konusu noktanın göreceli maksimum mu yoksa göreceli minimum mu olduğunu bilebiliriz:

  • Bir fonksiyonun birinci türevini iptal eden noktalara göre bir ekstremumu vardır.

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • Ve fonksiyonun ikinci türevinin işareti, noktanın maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu belirler:
    • İkinci türev negatifse, fonksiyonun o noktada bağıl maksimumu vardır.

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • İkinci türev pozitifse, fonksiyonun o noktada göreceli minimumu vardır.

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”356″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class= Örnek 1: Bir fonksiyonun maksimum ve minimumu nasıl hesaplanır?

      Bir fonksiyonun maksimum ve minimum tanımlarını gördükten sonra, bir fonksiyonun maksimum ve minimumunun nasıl hesaplandığını görebilmeniz için adım adım bir örnek çözeceğiz.

      • Aşağıdaki fonksiyonun göreli uç noktalarını hesaplayın ve bunların maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu belirleyin:

      f(x)=x^3-3x

      Fonksiyonun göreli uçları, aşağıdakileri karşılayan noktalar olacaktır:

      f'(x)=0

      . Bu nedenle öncelikle fonksiyonun türevini hesaplıyoruz:

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      Şimdi fonksiyonun türevini sıfıra eşitliyoruz ve ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi çözüyoruz:

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      Bu nedenle fonksiyonun göreli uç noktaları x=+1 ve x=-1’dir.

      Fonksiyonun göreli uç noktalarını bildiğimizde, ikinci türevin işaretiyle bunların maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu bilebiliriz. Bu nedenle fonksiyonun ikinci türevini hesaplıyoruz:

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      Şimdi ikinci türevde daha önce bulduğumuz göreli uç noktaları değerlendirerek bunların göreceli maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu anlıyoruz:

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      Bağıl minimum

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      Maksimum göreceli

      x=1’deki ikinci türev pozitiftir, dolayısıyla x=1 göreceli minimumdur . Öte yandan, x=-1’deki ikinci türev negatiftir, dolayısıyla x=-1 göreceli maksimumdur .

      Son olarak, göreceli uç noktaların Y koordinatını bulmak için bulunan noktaları orijinal fonksiyonda yerine koyarız:

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      Sonuç olarak, fonksiyonun göreceli ekstremumları şöyledir:

      Minimum noktaya

      \bm{(1,-2)}

      Maksimum nokta

      \bm{(-1,2)}

      Örnek 2: Bir fonksiyonun monotonluğunu ve maksimum ve minimumlarını incelemek

      Şimdi başka bir egzersiz türünün nasıl çözüldüğünü görelim. Bu durumda bir fonksiyonun monotonluğundan maksimum ve minimumun nasıl bulunacağını açıklayacağız.

      • Aşağıdaki fonksiyonun monotonluğunu inceleyin ve göreli uç noktalarını hesaplayın:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      Yapılacak ilk şey fonksiyonun tanım tanım kümesini hesaplamaktır. Rasyonel bir fonksiyon olduğundan, hangi sayıların fonksiyonun tanım kümesine ait olmadığını görmek için paydayı 0’a eşitlememiz gerekir:

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      Fonksiyonun tanım tanım kümesini hesapladıktan sonra hangi noktaların birinci türevi iptal ettiğini araştırmamız gerekir. Bu nedenle fonksiyonu türetiyoruz:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      Şimdi türevi 0’a eşitliyoruz ve denklemi çözüyoruz:

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      Dönem

      \left(x-1\right)^2}

      Bu, sol tarafın tamamını bölmeyi içerir, böylece bunu sağ tarafın tamamıyla çarpabiliriz:

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      İkinci dereceden denklemi çözmek için ortak faktörü çıkarıyoruz:

      x(x-2)=0

      Çarpmanın 0’a eşit olması için çarpımın iki unsurundan birinin sıfır olması gerekir. Bu nedenle her faktörü 0’a eşitliyoruz ve denklemin iki çözümünü elde ediyoruz:

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      Fonksiyonun tanım kümesini hesapladıktan sonra

      f'(x)=0

      , çizgide bulunan tüm kritik noktaları temsil ediyoruz:

      Ve fonksiyonun arttığını mı yoksa azaldığını mı bilmek için her aralıkta türevin işaretini değerlendiririz. Bunu yapmak için her aralıkta bir nokta alırız (asla kritik noktaları değil) ve türevin o noktada hangi işarete sahip olduğuna bakarız:

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      Türev pozitifse fonksiyon artıyor demektir, türev negatifse fonksiyon azalıyor demektir. Buna göre büyüme ve düşüş aralıkları şöyledir:

      Büyüme:

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      Azaltmak:

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      Ayrıca, x=0’da fonksiyon artandan azalan tarafa doğru gider, dolayısıyla x=0 fonksiyonun göreceli maksimumudur . Ve x=2’de fonksiyon azalan durumdan artana doğru gider, yani x=2 fonksiyonun göreceli minimumudur .

      Ve son olarak, uçların Y koordinatını bulmak için orijinal fonksiyonda bulunan noktaları yerine koyarız:

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      Kısaca fonksiyonun göreli ekstremumları şöyledir:

      Maksimum nokta

      \bm{(0,0)}

      Minimum noktaya

      \bm{(2,4)}

      Bir fonksiyonun maksimum ve minimumları ile ilgili çözülmüş alıştırmalar

      1. Egzersiz

      Aşağıdaki polinom fonksiyonunun bağıl ekstremumlarını hesaplayın ve bunların maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu belirleyin:

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      Fonksiyonun göreli uçları, fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktalar olacaktır. Bu nedenle fonksiyonun türevini hesaplıyoruz:

      f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9

      Ve şimdi denklemi çözüyoruz

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      3x^2-6x-9=0

      İkinci dereceden bir denklemimiz var, bu yüzden onu çözmek için genel formülü uyguluyoruz:

      \begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}

      Dolayısıyla fonksiyonun göreli uçları x=3 ve x=-1 noktalarıdır.

      Fonksiyonun göreli uç noktalarını bildiğimizde, ikinci türevin işaretiyle bunların maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu bilebiliriz. Bu nedenle fonksiyonu tekrar türevliyoruz:

      f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6

      Şimdi daha önce hesapladığımız noktaları ikinci türevde değerlendiriyoruz:

      f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}

      x=3’teki ikinci türev pozitiftir, dolayısıyla x=3 minimumdur . Ve x=-1’deki ikinci türev negatiftir, dolayısıyla x=-1 bir maksimumdur .

      Ve son olarak, uçların Y koordinatını bulmak için orijinal fonksiyonda bulunan noktaları yerine koyarız:

      f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)

      f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)

      Kısaca fonksiyonun göreli ekstremumları şöyledir:

      Noktaya göre minimum

      \bm{(3,-27)}

      Noktaya göre maksimum

      \bm{(-1,5)}

      Alıştırma 2

      Aşağıdaki üstel fonksiyonun göreceli ekstremumlarını hesaplayın ve bunların maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu belirleyin:

      f(x)=e^x(x-1)

      İlk önce işlevi ayırt etmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için bir ürünün türevinin formülünü uyguluyoruz:

      f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1

      f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x

      Ve şimdi denklemi çözüyoruz

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      xe^x=0

      \displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

      Başka bir sayıya yükseltilen bir sayı asla 0 ile sonuçlanamaz. Bu nedenle,

      e^x=0

      hiçbir çözümü yoktur ve tek göreli uç nokta

      x=0

      .

      Şimdi göreceli ekstremin maksimum veya minimum olduğunu bilmek için fonksiyonun ikinci türevini hesaplıyoruz:

      f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x

      Şimdi ikinci türevde daha önce bulduğumuz uç noktayı değerlendirerek bunun maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu görüyoruz:

      f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      x=0’daki ikinci türev pozitif olduğundan, x=0 bağıl veya yerel bir minimumdur .

      Son olarak, diğer uç koordinatı bulmak için orijinal fonksiyonda bulunan noktayı yerine koyarız:

      f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)

      Dolayısıyla fonksiyonun tek göreceli ekstremumu şudur:

      Minimum noktaya

      \bm{(0,-1)}

      Alıştırma 3

      Monotonluğu inceleyin ve aşağıdaki rasyonel fonksiyonun göreli uç noktalarını bulun:

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      Öncelikle fonksiyonun tanım kümesini belirliyoruz. Bunu yapmak için kesrin paydasını sıfıra eşitliyoruz ve ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi çözüyoruz:

      x^2+1 = 0

      İfade

      x^2+1

      Hiçbir zaman 0 olmayacaktır, çünkü x 2’nin sonucu her zaman pozitif bir sayı veya 0 olacaktır. Bu nedenle, 1 eklemek hiçbir zaman 0 vermeyecektir. Bu nedenle fonksiyonun tanım kümesi yalnızca gerçek sayılardan oluşur:

      \text{Dom } f= \mathbb{R}

      Daha sonra hangi noktaların buluştuğunu inceliyoruz

      f'(x)=0.

      Bölüm kuralını kullanarak fonksiyonun türevini alırız:

      f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}

      f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}

      Türevi 0’a eşitliyoruz ve denklemi çözüyoruz:

      f'(x)= 0

      \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0

      -x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2

      -x^2+2x+1=0

      İkinci dereceden bir denklemimiz var, bu yüzden onu çözmek için genel formülü kullanıyoruz:

      \begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}

      Fonksiyonun tanım kümesini hesapladıktan sonra

      f'(x)=0

      sayı doğrusunda bulunan tüm tekil noktaları temsil ediyoruz:

      Şimdi fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu bulmak için her aralıkta türevin işaretini değerlendireceğiz. Bu nedenle her aralıkta bir nokta alıyoruz (asla tekil noktalar değil) ve türevin bu noktada hangi işarete sahip olduğuna bakıyoruz:

      f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}

      Türev pozitifse fonksiyon o aralıkta artıyor demektir, türev negatifse fonksiyon azalıyor demektir. Buna göre büyüme ve düşüş aralıkları şöyledir:

      Büyüme:

      \bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}

      Azaltmak:

      \bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}

      Fonksiyon x=-0,41’de azalmadan artmaya değişir, dolayısıyla x=-0,41 fonksiyonun yerel minimumudur . Ve fonksiyon x=2,41’de artandan azalana doğru gidiyor, yani x=2,41 fonksiyonun yerel maksimumudur .

      Son olarak, noktaların Y koordinatlarını bulmak için bulunan uç noktaları orijinal fonksiyonda yerine koyarız:

      f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)

      f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)

      Dolayısıyla fonksiyonun göreceli ekstremleri şöyledir:

      Minimum noktaya

      \bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}

      Maksimum nokta

      \bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}

      Alıştırma 4

      Fonksiyonun olduğunu biliyoruz

      f(x)=x^2+ax+b

      noktadan geçmek

      (1,-2)

      ve nispeten aşırı bir durum var

      x= -1 .

      Bilinmeyenlerin değerini belirleyin

      a

      ve değeri

      b .

      Fonksiyonun göreceli bir ekstremuma sahip olmasına izin verin

      x= -1

      bu başarıldığı anlamına gelir

      f'(-1)=0.

      Bu nedenle fonksiyonun türevini hesaplıyoruz

      x= -1

      ve bunu 0’a eşitledik:

      f(x) = x^2+ax+b \ \longrightarrow \ f'(x)=2x+a

      \left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0

      Ve a parametresinin değerini bulmak için elde edilen denklemi çözüyoruz:

      2(-1)+a=0

      -2+a=0

      \bm{a=2}

      Bu nedenle fonksiyon şöyle olacaktır:

      f(x)=x^2+ax+b \ \xrightarrow{a \ = \ 2} \ f(x)=x^2+2x+b

      Diğer taraftan bize fonksiyonun noktadan geçtiğini söylüyorlar.

      (1,-2) .

      Yani,

      f(1)=-2 .

      Dolayısıyla b değişkeninin değerini bulmak için bu koşulu uygulayabiliriz:

      \left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2

      Ve b parametresinin değerini bulmak için elde edilen denklemi çözüyoruz:

      1^2+2\cdot1+b=-2

      1+2+b=-2

      b=-2-1-2

      \bm{b=-5}

      Bu nedenle fonksiyon şu şekildedir:

      f(x)=x^2+2x+b \ \xrightarrow{b \ = \ -5} \ f(x)=x^2+2x-5

Yorum bırakın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Scroll to Top