Türevler - Mathority

Burada her türlü fonksiyonun nasıl türetileceğini açıklıyoruz. Tüm türevlerin formüllerini örnekler ve adım adım türev alıştırmaları eşliğinde bulacaksınız.

Türev ürünler nelerdir?

Türevler, fonksiyonları incelemek için kullanılan matematiksel kurallardır. Özellikle bir fonksiyonun bir noktadaki türevi , bir limitin sonucudur ve fonksiyonun o noktadaki davranışını gösterir.

Bir fonksiyonun türevi asal işaret ‘ ile ifade edilir, yani f'(x) fonksiyonu f(x) fonksiyonunun türevidir.

Geometrik olarak bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin anlamı, fonksiyona o noktadaki teğetin eğimidir.

Bir fonksiyonun türevinin matematiksel tanımı aşağıdaki gibidir:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Bununla birlikte, bir fonksiyonun türevi genellikle yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanmaz ancak fonksiyonun türüne bağlı olarak türev alma kuralları uygulanır. Tüm türetme formülleri aşağıda açıklanmıştır.

türetilmiş formüller

Türevin tanımını gördükten sonra nasıl yapıldığını göreceğiz, her türev türünü bir örnekle açıklayacağız. Bu yazının amacı türev kavramını iyi anlamanızı sağlamaktır, bu nedenle sonunda bir fonksiyonun nasıl türetildiği konusunda şüpheniz varsa, bunu bize yorumlarda sorabilirsiniz.

bir sabitten türetilmiş

Bir sabitin türevi, sabitin değeri ne olursa olsun her zaman sıfırdır.

Dolayısıyla sabit bir fonksiyonun türevini bulmak için herhangi bir matematik işlemine gerek yoktur, türevin sıfır olması yeterlidir.

Sabitlerin türevlerine ilişkin aşağıdaki pratik örneklere bir göz atın:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Doğrusal bir fonksiyonun türevi

Bir doğrusal fonksiyonun türevi birinci derece terimin katsayısıdır, yani bir doğrusal fonksiyonun türevi f(x)=Ax+B eşittir A

Bu tür bir işlevin nasıl türetildiğine ilişkin aşağıdaki örneklere göz atın:

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

bir güçten türetilmiş

Bir kuvvetin veya potansiyel fonksiyonun türevi , kuvvetin üssü çarpı üssün eksi 1’e yükseltilmesinin çarpımıdır.

Bu nedenle, bir kuvvet elde etmek için, fonksiyonu üsle çarpmanız ve üssünden bir birim çıkarmanız yeterlidir.

Örneğin, kuvvet x küpün türevi:

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

Bu tür türevin alıştırmalarını (ve daha zorlarını) burada yapabilirsiniz:

➤ Bakınız: bir kuvvetin türevi için çözümlü alıştırmalar

bir kökten türetilmiş

Bir kökün türevi veya irrasyonel fonksiyon, kökün indeksinin çarpımına bölünen bire, kök üssünün üssünden 1 çıkarılarak elde edilen sayıya eşittir.

Örnek olarak aşağıda x’in karekökünün türevinin çözüldüğünü görebilirsiniz:

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ Bakınız: bir kökün türevi için çözülmüş alıştırmalar

Üstel bir fonksiyonun türevi

Üstel bir fonksiyonun türevi, tabanın e sayısı mı yoksa başka bir sayı mı olduğuna bağlıdır. Dolayısıyla bu tür bir işlevi türetmek için iki formül vardır ve güç tabanına göre karşılık gelen formülü kullanmanız gerekir:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

Aşağıda bu tür fonksiyonların iki çözülmüş türevini görebilirsiniz:

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ Bakınız: üstel bir fonksiyonun türevi için çözülmüş alıştırmalar

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Logaritmik bir fonksiyonun türevi logaritmanın tabanına bağlıdır, çünkü logaritma doğalsa türevi bulmak için bir formül uygulanmalı, logaritmanın tabanında başka bir sayı varsa başka bir kural kullanılmalıdır.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

Örneğin x’in üç tabanlı logaritmasının türevi:

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ Bakınız: logaritmik bir fonksiyonun türevi için çözülmüş alıştırmalar

Trigonometrik türevler

Üç ana trigonometrik türev, formülleri aşağıdaki gibi olan sinüs fonksiyonunun, kosinüs fonksiyonunun ve teğet fonksiyonunun türevidir:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

Mantıksal olarak, sekant, kosekant, kotanjant, hiperbolik trigonometrik fonksiyonlar, ters trigonometrik fonksiyonlar vb. gibi çeşitli trigonometrik fonksiyon türleri vardır. Ancak drift için en çok kullanılan kurallar yukarıdaki üç kuraldır.

yönlendirme kuralları

Fonksiyonlarla işlemlerimiz olduğunda türevler farklı şekilde çözülür. Bunu yapmak için, fonksiyonların toplama, çıkarma, çarpma ve bölümünü türetmemize izin veren türev alma kurallarını kullanmamız gerekir.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

Bu nedenle türevleri işlemlerle çözmek için sadece türev kurallarını uygulamamız değil, aynı zamanda her türev türü için formülü kullanmamız gerekir.

Bu tür türevi nasıl bulacağınızı görebilmeniz için aşağıda birkaç alıştırma çözeceğiz:

Bir toplamın türevi:

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

Gördüğünüz gibi, tüm fonksiyonun türevini çözmek için, bir kuvvetin türevi formülü, toplamın her terimine uygulandı.

Bir üründen türetilmiştir:

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

Çarpımın ilk teriminin türevi 4 ^x ln(4), sinüsün türevi ise kosinüstür. Yani çarpmanın türevi:

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

Bir bölümün türevi:

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

Kesirin payında ve paydasında bir polinomumuz var, dolayısıyla türevi elde etmek için bir bölümün türevi formülünü, bir toplamanın (veya çıkarmanın) türevinin formülünü ve türevinin formülünü kullanmamız gerekir. güce sahiptir:

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

Zincir kuralı

Zincir kuralı, bileşik fonksiyonları türetmek için kullanılan bir formüldür. Zincir kuralı, bir bileşik fonksiyon f(g(x))’ in türevinin , f'(g(x)) türevi ile g'(x) türevinin çarpımına eşit olduğunu belirtir.

Bu türev kavramını özümsemek genellikle daha zordur, bu nedenle örnek olarak bir alıştırmayı adım adım çözeceğiz:

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

Etkili bir şekilde, bu bir fonksiyonlar bileşimidir çünkü sinüs fonksiyonunun içinde x ³ fonksiyonumuz vardır, bu nedenle bileşik fonksiyonun türevini bulmak için zincir kuralını kullanmalıyız.

Bir yandan sinüsün türevi kosinüs olduğundan dış fonksiyonun türevi sinüsle aynı argümanla kosinüs olacaktır:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

Diğer taraftan x ^3’ün türevini bir kuvvetin türevi formülünü kullanarak hesaplıyoruz:

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

Dolayısıyla tamsayı bileşik fonksiyonunun türevi, iki türevin çarpımıdır:

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ Bakınız: zincir kuralıyla çözülmüş türev alıştırmaları

Bir fonksiyonun türevlenebilirliği

Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada süreklidir.
Bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse o noktada türevlenebilir de değildir.

Ancak bu teoremin tersi yanlıştır; yani bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması onun o noktada her zaman türevlenebilir olduğu anlamına gelmez.

Ayrıca bir fonksiyonun grafiğindeki bir noktada türevlenebilir olup olmadığını da görebilirsiniz:

Eğer düzgün bir nokta ise fonksiyon bu noktada türevlenebilirdir.
Açısal bir nokta ise fonksiyon süreklidir ancak bu noktada türevlenebilir değildir.

x=0’daki yumuşak nokta :
Bu noktada sürekli ve türevlenebilir fonksiyon.

x=2’deki eğik nokta :
fonksiyon süreklidir ancak bu noktada türevlenebilir değildir.

Bir parçalı fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olup olmadığını o noktadaki yanal türevleri hesaplayarak da anlayabilirsiniz:

Bir noktadaki yanal türevler eşit değilse fonksiyon o noktada türevlenebilir değildir:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Farklılaştırılamaz

$x_o$

Bir noktadaki yanal türevler çakışıyorsa fonksiyon o noktada türevlenebilirdir:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Evet türetilebilir

$x_o$

Şimdi bir noktada parçalı tanımlı bir fonksiyonun türevini hesaplama örneğini görelim:

Aşağıdaki parçalı fonksiyonun x=2 noktasında sürekliliğini ve türevlenebilirliğini inceleyin:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Her iki bölümün fonksiyonları kendi aralıklarında süreklidir ancak fonksiyonun x=2 kritik noktasında sürekli olup olmadığının kontrol edilmesi gerekir. Bunu yapmak için fonksiyonun yanal limitlerini şu noktada çözüyoruz:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Kritik noktadaki yanal limitler bize aynı sonucu verdi, dolayısıyla fonksiyon x=2 noktasında süreklidir.

Fonksiyonun x=2’de sürekli olduğunu bildiğimizde, fonksiyonun bu noktada türevlenebilirliğini inceleyeceğiz. Bunu yapmak için parçalı tanımlı fonksiyonun yanal türevlerini hesaplıyoruz:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Şimdi her bir yanal türevi kritik noktada değerlendireceğiz:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

İki yanal türev bize aynı sonucu verdi, dolayısıyla fonksiyon x=2’de türevlenebilir ve türevin değeri 6’dır:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Öte yandan yanal türevler bize farklı bir sonuç vermiş olsaydı bu, fonksiyonun x=2’de türevlenemeyeceği anlamına gelirdi. Başka bir deyişle bu noktada türev mevcut olmayacaktır.

➤ Bakınız: bir fonksiyonun türevlenebilirliği için çözümlü alıştırmalar