Hiperbolik ark kosinüsün türevi

Bu sayfada hiperbolik ark kosinüsün (formül) türevinin ne olduğunu göreceksiniz. Ayrıca bir fonksiyonun hiperbolik ark kosinüsünün türevleri için adım adım çözülmüş alıştırmalar da bulacaksınız. Ve son olarak bu tür trigonometrik fonksiyonların türevinin formülünün gösterimini bulacaksınız.

Hiperbolik ark kosinüsün türevinin formülü

X’in hiperbolik arkkosinüsünün türevi, bir bölü x kare eksi 1’in kareköküdür.

$f(x)=\text{arccosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

Bu nedenle, bir fonksiyonun hiperbolik ark kosinüsünün türevi, o fonksiyonun türevinin, o fonksiyonun karekökünün karesi eksi bire bölünmesine eşittir.

$f(x)=\text{arccosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2-1}}$

İkinci formül zincir kuralını içerir ve bu nedenle herhangi bir hiperbolik arkkosinüsü türetmek için kullanılabilir. Aslında x’in yerine u koyarsak ilk formülü elde ederiz. Bunun yerine, ilk formül yalnızca x’in hiperbolik arkkosin türevi için işe yarar.

Hiperbolik arkkozin, hiperbolik kosinüsün ters fonksiyonudur ve bu nedenle iki fonksiyon birbiriyle ilişkilidir. Bu trigonometrik fonksiyonun türevinin formülünü buraya tıklayarak görebilirsiniz:

➤ Bakınız: hiperbolik kosinüsün türevinin formülü

Hiperbolik arksinüs türevi örnekleri

örnek 1

$f(x)=\text{arccosh}(5x)$

Hiperbolik arkkosinin türevini bulmak için karşılık gelen formülünü kullanmamız gerekir:

$f(x)=\text{arccosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2-1}}$

Bu nedenle, kesrin payına 5x’in türevini, yani 5’i koymamız gerekir. Paydaya ise argüman fonksiyonunun karesi eksi 1’in karekökünü koymamız yeterlidir:

$f(x)=\text{arccosh}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{(5x)^2-1}}=\cfrac{5}{\sqrt{25x^2-1}}$

Örnek 2

$f(x)=\text{arccosh}(x^4-5x^2)$

Bu alıştırmadan türetilecek fonksiyon hiperbolik arkkosindir, dolayısıyla onu türetmek için aşağıdaki formülü kullanırız:

$f(x)=\text{arccosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2-1}}$

Böylece payda, fonksiyonun argümanının türevini ve paydada ise argümanın fonksiyonunun karekökünü 2 eksi 1’e çıkararak yazıyoruz:

$f(x)=\text{arccosh}(x^4-5x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{4x^3-10x}{\sqrt{\left(x^4-5x^2\right)^2-1}}$