Hiperbolik kosinüsün türevi

Bu makalede bir fonksiyonun hiperbolik kosinüsünün nasıl elde edileceğini açıklıyoruz. Ek olarak hiperbolik kosinüs türevlerinin örneklerini bulacaksınız ve son olarak size bu tür trigonometrik türevin formülünü göstereceğiz.

Hiperbolik kosinüsten türetilen formül

X’in hiperbolik kosinüsünün türevi, x’in hiperbolik sinüsüdür.

$f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)$

Bu nedenle, bir fonksiyonun hiperbolik kosinüsünün türevi, fonksiyonun hiperbolik sinüsü ile bu fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

İkinci formül birincinin aynısıdır, tek farkı ikinci formülde zincir kuralının uygulanmasıdır. Dolayısıyla, ilk formül yalnızca x’in hiperbolik kosinüsünü türetmek için kullanılabilirken, ikinci formül herhangi bir fonksiyon tipinin hiperbolik kosinüsünü türetmek için kullanılabilir.

Gördüğünüz gibi hiperbolik kosinüsün türevinin formülü, bazı benzerlikleri paylaşsa da kosinüsün türevinin formülünden farklıdır.

➤ Bakınız: kosinüsün türevinin formülü

Hiperbolik kosinüsün türevine örnekler

Hiperbolik kosinüsün türevinin formülü göz önüne alındığında, aşağıda bu tür trigonometrik fonksiyonların çeşitli türevlerinin örneklerini çözeceğiz. Aklınıza takılan her türlü soruyu yorumlarda sorabileceğinizi unutmayın.

Örnek 1: 2x’in hiperbolik kosinüsünün türevi

$f(x)=\text{cosh}(2x)$

Bu örnekte, hiperbolik kosinüs argümanında x’ten farklı bir fonksiyona sahibiz, dolayısıyla hiperbolik kosinüsün türevi için zincir kuralını içeren formülü kullanmalıyız:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

2x’in türevi 2’dir, yani 2x’in hiperbolik kosinüsünün türevi, 2x çarpı 2’nin hiperbolik sinüsüdür.

$f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)$

Örnek 2: x karenin hiperbolik kosinüsünün türevi

$f(x)=\text{cosh}(x^2)$

Yukarıda gördüğümüz gibi hiperbolik kosinüs fonksiyonunun türevine ilişkin kural şöyledir:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

Böylece, bir yandan 2x’i veren ikinci dereceden x ² fonksiyonunu türetiyoruz, sonra tüm fonksiyonun türevini hesaplıyoruz:

$f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x$

Hiperbolik kosinüsün türevinin formülünün kanıtı

Son olarak size hiperbolik kosinüsten elde edilen formülü göstereceğiz, böylece bunun nereden geldiğini görebilirsiniz. Hiperbolik kosinüsün ifadesinden başlarsak:

$\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$