▷ Bir toplamın türevi (formül ve çözülmüş alıştırmalar)

Burada fonksiyonların toplamının (formül) nasıl elde edileceğini açıklıyoruz. Ek olarak, toplamların türevleriyle ilgili örnekleri görebileceksiniz ve hatta bir toplamın türeviyle ilgili çözülmüş alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz. Ve son olarak bir toplamın türevi formülünün gösterimini bulacaksınız.

Bir toplamın türevinin formülü

İki fonksiyonun toplamının türevi, her fonksiyonun ayrı ayrı türevlerinin toplamına eşittir.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

Başka bir deyişle, iki fonksiyonu ayrı ayrı türetip sonra eklemek, önce fonksiyonları toplayıp sonra türevi almakla eşdeğerdir.

Türev toplama kuralının çıkarma işlemi için de geçerli olduğunu unutmayın; dolayısıyla bir fonksiyonun önünde pozitif işaret yerine negatif işaret varsa, onun türevini almak için de aynı formülü kullanmamız gerekir.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

Ek olarak toplama, birleşme özelliğine sahip bir işlemdir; bu, toplama işleminde yer alan toplamaların sayısının kayıtsız olduğu anlamına gelir, çünkü tüm fonksiyonun türevi, her fonksiyonun türevinin toplamı olmaya devam edecektir.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

Bir toplamın türevi örnekleri

Bir toplamın türevinin formülünün ne olduğunu gördükten sonra, fonksiyonların toplamlarının nasıl türetildiğini tam olarak anlamak için bu tür işlemin çeşitli türev örneklerini göreceğiz.

Örnek 1: Potansiyel fonksiyonların toplamının türevi

$f(x)=3x^2+5x$

İki fonksiyonun toplamının türevi, her fonksiyonun ayrı ayrı türevine eşittir. Bu nedenle öncelikle her fonksiyonun türevini ayrı ayrı hesaplıyoruz:

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

Böylece tüm fonksiyonun türevi, hesaplanan iki türevin toplamı olacaktır:

$f'(x)=6x+5$

Örnek 2: Farklı fonksiyonların toplamının türevi

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

Fonksiyonların toplamının türevini almak için, iki fonksiyonun ayrı ayrı türevini almalı ve sonra bunları eklemelisiniz. Bu nedenle fonksiyonları türetiyoruz:

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

Daha sonra bulunan iki türevi ekliyoruz:

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

Örnek 3: Kareli toplamın türevi

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

Bu durumda, bir kuvvete yükseltilmiş fonksiyonların toplamına sahip olduğumuz için bileşik bir fonksiyonumuz var. Bu nedenle, fonksiyonun tamamını türetmek için zincir kuralını uygulamamız gerekir:

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$