Doğrusal ve ikinci dereceden enterpolasyon

Bu sayfada bir fonksiyonun enterpolasyonunun ne anlama geldiğini öğreneceksiniz. Özellikle doğrusal enterpolasyon ve ikinci dereceden enterpolasyon açıklanmaktadır. Ek olarak, birden fazla örnek görebileceksiniz, böylece bir fonksiyonun nasıl enterpolasyonlu olduğu konusunda hiçbir şüpheniz olmayacak.

Fonksiyon enterpolasyonu nedir?

İnterpolasyonun tanımı aşağıdaki gibidir:

Matematikte enterpolasyon , bir fonksiyonun, uç noktaları bilinen bir aralıktaki bir noktada aldığı değere yaklaşmak için kullanılan bir prosedürdür.

Enterpolasyon ve ekstrapolasyon arasındaki fark nedir?

Enterpolasyon ve ekstrapolasyon çok benzer anlamlara sahiptir, çünkü her ikisi de bir fonksiyonun değerinin bilinen iki noktadan bir noktada tahmin edilmesini içerir.

Ancak enterpolasyon, bilinen bu iki noktanın oluşturduğu aralıkta yer alan bir noktanın yaklaşıklığının yapılmasını içerir. Bunun yerine, ekstrapolasyon yapmak, fonksiyonun değerini bu iki bilinen noktanın oluştuğu aralığın dışındaki bir noktada tahmin etmek anlamına gelir.

enterpolasyon ve ekstrapolasyon veya enterpolasyon ve ekstrapolasyon

Yukarıdaki grafikte görüldüğü gibi bilinen noktalar (2,3) ve (6,5)’tir. Bu durumda, bilinen noktalar arasında olduğu için x=4’e enterpolasyon yapmak istiyoruz, diğer taraftan bilinen aralığın dışında olduğundan x=8’e ekstrapolasyon yapmak istiyoruz.

Açıkçası, enterpolasyonlu bir değer, ekstrapolasyonlu bir değerden çok daha güvenilirdir çünkü ekstrapolasyonda fonksiyonun benzer bir yol izleyeceğini varsayarız. Ancak fonksiyonun eğiminin bilinen aralığın sınırları dışında değişmesi ve tahminin hatalı olması mümkündür.

Doğrusal enterpolasyon

Doğrusal enterpolasyon, Newton polinom enterpolasyonunun özel bir durumudur. Bu durumda, fonksiyonun bir noktadaki değerini tahmin etmek için birinci dereceden bir polinom, yani doğrusal veya afin fonksiyon kullanılır.

Bilinen iki nokta göz önüne alındığında,

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

doğrusal enterpolasyon gerçekleştirme formülü şöyledir:

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Altın

$x$

$y$

enterpolasyonlu noktanın koordinatlarıdır.

Bu formülün doğrunun nokta-eğim denklemine karşılık geldiğini doğrulayabiliriz.

Doğrusal enterpolasyon örneği

Daha sonra doğrusal enterpolasyon kavramını anlamayı tamamlamak için örnek olarak bir problem göreceğiz:

Bir fabrikada 2 adet ürün 4 saatte, 10 adet ürün ise 8 saatte üretilmektedir. Üretilen ürün sayısı ile çalışılan saat arasında doğrusal bir ilişki varsa, 5 saatte kaç ürün üretilecektir?

İlk olarak, çalışılan saatleri üretilen ürünlerle ilişkilendiren doğrusal fonksiyonu tanımlamamız gerekiyor. Bu durumda, X çalışılan saatleri, Y ise üretilen ürünleri gösterecektir. Çünkü çalışılan saate göre daha fazla veya daha az ürün üretilecek, yani üretim saate bağlı olacak, tam tersi değil.

İfadeden fonksiyonun (4,2) ve (8,10) noktalarından geçtiğini biliyoruz. Bu nedenle formülü noktada enterpolasyon yapmak için uygulamak yeterlidir.

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Noktaların değerlerini denklemde değiştiririz:

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

Ve işlemleri yapıyoruz:

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

Yani 5 saat 4 ürün üretecektir.

ikinci dereceden enterpolasyon

İkinci dereceden enterpolasyon, 1. dereceden bir polinom yerine ikinci dereceden bir polinomla enterpolasyon yapılmasını içerir. Bu nedenle, bu durumda ikinci dereceden veya parabol fonksiyonu kullanılır.

$y = ax^2+bx+c$

Genel olarak ikinci dereceden enterpolasyon, birinci dereceden enterpolasyona göre daha yüksek dereceden olduğundan daha doğrudur. Aksine enterpolasyonun yapılabilmesi için bir noktaya daha ihtiyaç vardır.

Matematikçi Lagrange, n. dereceden enterpolasyon fonksiyonunu bulmak için bir formül geliştirdi. İkinci dereceden durum için Lagrange enterpolasyon polinomu aşağıdaki gibidir:

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

bilinen noktalar nerede

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

$P_3(x_3,y_3)$

Apsisteki fonksiyonun değerini bulmak için kullanılırlar.

$x.$

Ancak pratikte genellikle Lagrange enterpolasyon yöntemi kullanılmaz, gözlenen 3 noktadan ikinci dereceden fonksiyon hesaplanır ve ardından fonksiyonda enterpolasyon yapılacak nokta değerlendirilir. İşte nasıl yapıldığını görmek için çözülmüş bir alıştırma:

İkinci dereceden enterpolasyon örneği

(0,1), (1,0) ve (3,4) noktalarından geçen ikinci dereceden fonksiyonu belirleyin ve ardından değerinin enterpolasyonunu yapın.
$x=-1.$

İkinci dereceden fonksiyonlar ikinci dereceden polinomlar olduğundan enterpolasyon fonksiyonu aşağıdaki gibi olacaktır:

$y = ax^2+bx+c$

Bu nedenle katsayıların hesaplanması gerekir.

$a$

$b$

$c$

. Bunu yapmak için bilinen noktaların koordinatlarını fonksiyonda değiştiririz:

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

Şimdi denklem sistemini çözüyoruz:

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

değerini zaten biliyoruz

$c$

dolayısıyla sistemi ikame yöntemiyle çözebiliriz: bilinmeyeni sileriz

$a$

ikinci denklemden alın ve son denklemde bulunan ifadeyi değiştirin:

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$

bilinmeyeni buluyoruz

$b$

son denklemden:

$4 = -9b-9+3b+1$

$12 =-6b$

$b=\cfrac{12}{-6} = -2$

ve değerini bulun

$a$

sistemin ikinci denklemi ile:

$a=-(-2)-1 = 1$

Dolayısıyla ikinci dereceden fonksiyon aşağıdaki gibidir:

$\bm{y = x^2-2x+1}$

Son olarak apsisi enterpolasyona alıyoruz

$x=-1$

Bu noktada fonksiyonun değerini hesaplamak için:

$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+1=1+2+1=\bm{4}$

İnterpolasyon Uygulamaları

Öyle görünmese de enterpolasyon matematik ve istatistikte çok faydalıdır. Örneğin, bir fonksiyonun değerini tahmin etmeye çalışmak için kullanılır: toplanan bir dizi veriden regresyon çizgisi hesaplanır ve bununla fonksiyonun her noktada değerinin ne olacağına dair bir tahminde bulunabilirsiniz.

Bir fonksiyonun enterpolasyonu, gördüğümüz gibi manuel olarak veya Excel veya MATLAB gibi bilgisayar programlarıyla yapılabilir. Açıkçası bunu bilgisayar kullanarak yapmak çok daha rahat ve hızlı.

Öte yandan hesaplamaları basitleştirmek için enterpolasyon da kullanılır. Çok uzun işlevlere sahip karmaşık hesaplamalar yapması gereken bazı yazılım programları vardır, bu nedenle bazen işlemleri basitleştirmek için bu işlevlerin doğrusal enterpolasyonu gerçekleştirilir.