Üç terimli kare - Mathority

Bu sayfada bir trinomialin (formül) karesinin nasıl çözüleceğini açıklıyoruz. Buna ek olarak, birkaç örnek görebileceksiniz ve kareli trinomiyallerle adım adım çözülen alıştırmalar yapabileceksiniz.

Kareli bir trinomial için formül

Mantıksal olarak, trinomial kare formülünü anlamak için öncelikle trinomialin ne olduğunu bilmeniz gerekir. Açıklamaya devam etmeden önce incelemek isterseniz diye size bu bağlantıyı bırakıyorum.

Bir trinomialin karesi , birinci terimin karesi artı ikinci terimin karesi artı üçüncü terimin karesine, artı birinci terimin iki katı çarpı ikincinin artı birinci terimin iki katı çarpı üçüncünün artı iki katına eşittir. üçüncüye ikinci.

bir trinomial veya trinomial karenin karesi

Bir trinomialin karesi çok önemlidir çünkü dikkate değer bir çarpımdır (veya dikkate değer bir özdeşliktir), yani bu işlemi hızlı bir şekilde hesaplamanıza olanak tanıyan matematiksel bir formül vardır. Tüm önemli ürün formüllerinin neler olduğunu görmek için aşağıdaki bağlantıya tıklayın.

Kare Trinomial Örnekleri

Üç terimli karenin formülünün ne olduğunu gördükten sonra, bir üç terimlinin karesini hesaplamanın birkaç örneğini göreceğiz:

örnek 1

Bir kare trinomialin aşağıdaki gücünü hesaplayın:

$\left(x^2+x+3\right)^2$

Üç terimlinin karesinin formülü şöyledir:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Bu nedenle öncelikle parametre değerlerini tanımlamamız gerekir.

$a,b$

$c$

formülü. Bu alıştırmada

$a$

Doğu

$x^2,$

katsayı

$b$

karşılık gelir

$x,$

$c$

bağımsız terim 3’tür:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

Değerleri zaten bildiğimizde, bu değerleri formülde yerine koyup hesaplamaları yapmanız yeterlidir:

Öte yandan, kareli bir üç terimlinin , tam kare bir üç terimli ile aynı şey olmadığını da belirtmek gerekir. Bu yaygın bir hatadır çünkü birçok kişi bu iki kavramı karıştırır. Bu iki tür üç terimli arasındaki farkları bu paragraftaki bağlantıda görebilirsiniz.

Örnek 2

Bir üç terimlinin sonraki karesini bulun:

$\left(x^2-2x+4\right)^2$

Bu polinom kuvvetini belirlemek için ikiye yükseltilmiş bir üç terimlinin formülünü uygulamalıyız:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Bu problemde,

$a$

Bu şuna eşdeğerdir

$x^2,$

$b$

negatif tek terimliye karşılık gelir

$-2x,$

$c$

4 numara:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2-2x+4\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=-2x \\[2ex] c=4 \end{array}$

Böylece bulunan değerleri formülde yerine koyarız ve ortaya çıkan işlemleri çözeriz:

$\begin{array}{l} \left(x^2-2x+4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(-2x)^2+4^2+2\cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 4 +2 \cdot (-2x) \cdot 4 = \\[2ex] = x^4+4x^2+16-4x^3 + 8x^2 -16x = \\[2ex] = x^4-4x^3+12x^2-16x+16 \end{array}$

Negatif bir tabanın çift üssüne sahip kuvvetin pozitif bir terim verdiğini unutmayın;

$(-2x)^2$

eşittir

$4x^2.$

Artık bir trinomialin karesinin nasıl hesaplandığını gördüğünüze göre, iki terimin farkıyla toplamın çarpımının nasıl çözüleceğini bilmek de muhtemelen ilginizi çekecektir. Aslında en dikkate değer (en önemli) kimlikler arasında ilk 3’te yer alıyor. Formülünün ne olduğunu ve nasıl uygulandığını bağlantılı sayfada görebilirsiniz.

Üç terimlinin karesi formülünün gösterilmesi

Üç terimli karenin kuvveti kavramını anlamayı bitirmek için, az önce incelediğimiz formülü çıkaracağız.

2’ye yükseltilmiş herhangi bir üç terimliden:

$(a+b+c)^2$

Yukarıdaki cebirsel ifade, parantez içindeki üç terimliyi kendisiyle çarpmaya eşdeğerdir:

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Şimdi iki trinomiyi çarpalım:

$(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

Son olarak benzer terimleri gruplandırıyoruz:

$a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Ve bu şekilde formülün ifadesine zaten ulaştık, böylece bir üç terimlinin karesi formülü gösterilmiştir:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Web sitemizde önemli kimliklerin daha fazla gösterimi var. Örneğin, toplamın karesi ve farkın karesi formülünün gösterimini görebilirsiniz. Üstelik bu bağlantılarda sadece kanıtlarını değil, formüllerinin geometrik yorumunu, yani bu tür dikkat çekici kimliklerin geometrik olarak ne anlama geldiğini de göreceksiniz.

Çözülmüş kare trinomial problemleri

Aşağıdaki kare trinomialleri çözün:

$\text{A)} \ \left(x^2+x+5\right)^2$

$\text{B)} \ \left(x^2+3x-4\right)^2$

$\text{C)} \ \left(4x^2-6x+3\right)^2$

$\text{D)} \ \left(x^3-3x^2-9x\right)^2$

çözümü gör

Tüm alıştırmaları çözmek için üç terimlinin karesi formülünü kullanmalıyız:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}$

Kareli bir trinomial için formül

Kare Trinomial Örnekleri

örnek 1

Örnek 2

Üç terimlinin karesi formülünün gösterilmesi

Çözülmüş kare trinomial problemleri

Yorum bırakın Yanıtı iptal et