Küplerin toplamı

Bu sayfada küp toplamı formülünü ve küp toplamlarının nasıl çarpanlara ayrıldığının açıklamasını bulacaksınız. Ayrıca küp toplamları ile ilgili çeşitli örnekler ve çözülmüş alıştırmalar görebileceksiniz.

Küplerin toplamı nedir?

Küplerin toplamı, iki terimi pozitif olan ve ayrıca kübik kökleri tam olan bir binomdur (yalnızca iki tek terimli polinom). Bu nedenle küplerin toplamının cebirsel ifadesi a ³ +b ^3’tür .

Ek olarak, mükemmel küplerin toplamı dikkate değer bir çarpıma (veya dikkat çekici özdeşliğe) karşılık gelir; bu, onu çok fazla hesaplama yapmadan doğrudan çözecek bir formül olduğu anlamına gelir. Daha sonra bunun nasıl yapıldığını göreceğiz.

Küp toplamı formülü

Küp toplamının matematiksel tanımını gördükten sonra şimdi küp toplamı formülünün ne olduğuna bakalım:

Böylece, iki küp terimin toplamı, bu iki terimin toplamı ile birinci terimin karesi eksi iki büyüklüğün çarpımı artı ikinci terimin karesine eşittir.

Bu nedenle, mükemmel küplerin toplamı formülünü uyguladığımızda, bir polinomun ifadesini iki faktörün çarpımına dönüştürdüğümüz için aslında bir polinomu çarpanlara ayırıyoruz. Bir polinomu çarpanlara ayırmanın ne anlama geldiğinden hala emin değilseniz, devam etmeden önce polinomları nasıl çarpanlara ayıracağınızı görmenizi öneririz.

Küp toplamlarını çarpanlarına ayırma örnekleri

Mükemmel küplerin toplamı kavramını anlamayı tamamlamak için, aşağıdaki formülü kullanarak küp toplamlarını çarpanlara ayırmaya ilişkin birkaç örnek göreceğiz:

örnek 1

Aşağıdaki formülü kullanarak küplerin toplamını çarpanlarına ayırın:

$x^3+8$

Aslında bu bir küp toplamıdır çünkü tek terimlinin kübik kökü

$x^3$

kesindir (ondalık sayı vermez) ve 8 sayısı da:

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3+8=x^3+2^3$

Bu nedenle, kübik ifadeyi bir binom ve bir üç terimlinin çarpımına dönüştürmek için küplerin toplamı formülünü uygulayabiliriz:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-x \cdot 2 + 2^2)$

Ve son olarak çarpma ve kuvveti çözmemiz gerekiyor:

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-2x + 4)$

Elde edilen ifadeye yakından bakarsak küp toplamı formülü sayesinde bir polinomun kökünü kolaylıkla bulabiliriz . Bu durumda polinomun köklerinden biri

$x=-2.$

Ancak bir polinomun tüm köklerini (veya sıfırlarını) bulmak için daha karmaşık bir prosedür izlemeniz gerekir; bunun nasıl yapılacağını bağlantılı sayfada bulabilirsiniz.

Örnek 2

Mükemmel küplerin toplamı formülünü uygulayarak aşağıdaki binom ifadesini çarpanlarına ayırın.

$8x^3+1$

Bu örnekteki polinom aynı zamanda bir küp toplamından oluşur çünkü hem tek terimlinin küp kökü

$8x^3$

bağımsız terim 1’den kesindir:

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3+1 =(2x)^3+1^3$

Bu nedenle ifadeyi basitleştirmek için tam küplerin toplamı formülünü kullanabiliriz:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)\bigl((2x)^2-2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

Son olarak, ortaya çıkan işlemleri hesaplayın:

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)(4x^2-2x + 1\bigr)$

Artık bir küp toplamını nasıl çözeceğinizi gördüğünüze göre, küp farkını nasıl çarpanlara ayıracağınızı bilmek isteyebilirsiniz. Çünkü küp formülü farkı benzer olsa da küp toplamı ile farkı arasındaki farkı ayırt etmemizi sağlayacak küçük bir değişikliğe sahiptir. Bu önemli değişikliğin nelerden oluştuğunu ve küp çıkarma işleminin nasıl hesaplandığını görebilmeniz için size bu bağlantıyı bırakıyoruz.

Küp toplamları problemlerini çözdük

1. Egzersiz

Aşağıdaki küplerin eklenmesini formülle çarpanlara ayırın:

$x^6+27x^3$

Çözüme bakın

İfade küplerin toplamına karşılık gelir çünkü polinomun iki elemanının kübik kökleri tamdır:

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6+27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3$

Bu nedenle, kübik ifadeyi bir binom ve bir üç terimlinin çarpımına ayırmak için mükemmel küplerin toplamı formülünü kullanabiliriz:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( \left(x^2\right)^2-x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

Çarpanlara ayrılmış polinomu bulmak için tüm işlemleri çözdüğümüz şey:

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( x^4-3x^3 + 9x^2\right)$

Alıştırma 2

Her ürünü küp toplamı olarak ifade edin:

$\text{A)} \ (x+5)(x^2-5x+25)$

$\text{B)} \ (2x+7)(4x^2-14x+49)$

$\text{C)} \ (8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4)$

Çözüme bakın

3 alıştırmanın ifadeleri küp toplamı formülüne uygundur, dolayısıyla polinomların çarpımlarını çözmek yeterlidir:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x^2-5x+25) = \\[2ex] = x^3-5x^2+25x+5x^2-25x+125 = \\[2ex] = x^3 +125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+7)(4x^2-14x+49) = \\[2ex] = 8x^3-28x^2+98x+28x^2-98x+343 = \\[2ex] = 8x^3+343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3-64x^2y^2+8xy^4+64x^2y^2-8xy^4+y^6= \\[2ex] = 512x^3+y^6\end{array}$

Dikkate değer kimliklerle daha çok ilgileniyorsanız, birçok insanın unuttuğu (ve çok sık kullanıldığı) bir kimlik olduğunu bilin. Ancak bu dikkate değer özdeşliğin formülünü hatırlamak önemlidir, adı trinomiyal karedir . Bu yüzden size bu formülün ne olduğunu ve nasıl uygulandığını görebileceğiniz bu bağlantıyı bırakıyoruz.