Binom küpü - Mathority

Burada, (a+b) ³ veya (ab) ³ olan bir binom küpünün (formül) dikkate değer çarpımının çözünürlüğünün açıklamasını bulacaksınız. Ayrıca binomlardan küpe kadar adım adım çözülen örnekleri ve alıştırmaları görebileceksiniz.

Küp binom nedir?

Küp binom, iki terimin üssü 3’ten oluşan bir polinomdur. Sonuç olarak, küp şeklinde bir binomun cebirsel ifadesi, tek terimlilerini toplamamıza veya çıkarmamıza bağlı olarak (a+b) ³ veya (ab) ³ olabilir.

Ek olarak, küplü binom dikkate değer kimliklerden (veya dikkate değer ürünlerden) biridir. Daha doğrusu, küpün (veya kübik) dikkate değer kimliklerinden birine karşılık gelir.

binom küp formülü

Binom küp tanımında da gördüğümüz gibi, bu dikkate değer özdeşlik türü toplama veya çıkarma işleminden oluşabilir. Bu nedenle formül, pozitif binom veya negatif binom olmasına bağlı olarak biraz değişir ve bu nedenle her durumu ayrı ayrı göreceğiz.

bir toplamın küpü

Bir toplamın küpü alındığında, bunu bir toplamın küpü formülünü kullanarak hesaplayabiliriz:

Böylece bir binom küpü (toplama), birincinin küpü artı birincinin karesinin üçlüsü çarpı ikinci, artı birincinin üçlüsü çarpı ikincinin karesi artı ikincinin küpüne eşittir.

Bir binomun küpünü hesaplamanın başka bir yöntemi Newton’un binomudur (veya binom teoremidir). Bu teoremin açıklamasını içeren aşağıdaki bağlantıyı size bırakıyoruz çünkü bu formülü bilmek çok faydalıdır çünkü bu formül yalnızca üçüncü dereceden binomların kuvvetleri için değil, aynı zamanda daha yüksek üsler için de işe yarar. Çözümlü Newton binom egzersizlerini öğrenmek ve bunlarla pratik yapabilmek için bu bağlantıya tıklayın.

farkın küpü

Öte yandan, eğer bir toplam yerine farkı (veya çıkarma işlemini) küpe yükseltirsek, binomun küp formülü çift terimlerin işaretinde değişir:

küp formülünde bir farkın veya çıkarmanın binom değeri

Bu nedenle, bir binom küpü (çıkarma), birincinin küpüne eşittir, eksi birincinin karesinin üç katı çarpı ikinci, artı birincinin üç katı ikincinin karesi eksi ikincinin küpü.

Böylece, bir toplamın küpü ile bir farkın küpü formüllerinin farklı olmasının tek yolu ikinci ve dördüncü terimlerin işaretleridir, çünkü bir toplamın binomunda hepsi pozitiftir ve tam tersi Bir çıkarma işleminin binomunun her ikisi de negatiftir.

Az önce toplam binomun ve fark binomunun ne olduğunu gördük. İki binomun farklarının toplamının da dikkate değer bir özdeşlik olduğunu ve aslında ilk 3’ün (en önemlisi) bir parçası olduğunu bilmelisiniz. Toplam çarpı fark formülünün ne olduğunu ve bağlantılı sayfada nasıl uygulandığını görebilirsiniz.

Küplü binom örnekleri

Artık bir toplamın küpü formülünü ve bir farkın küpü formülünü bildiğimize göre, kavramı anlamayı tamamlamak için her tür binom küpü çözmenin bir örneğini göreceğiz.

Bir toplamın küpü örneği

Formülü uygulayarak binom’u aşağıdaki küpte çözün:

$(x+2)^3$

Bu problemde iki terimi pozitif olan bir binomumuz var. Bu nedenle formülü küp toplamı için uygulamalıyız:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Şimdi parametrelerin değerini bulmamız gerekiyor.

$a$

$b$

formülü. Bu durumda,

$a$

değişkene karşılık gelir

$x$

$b$

2 numaradır.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Bu nedenle, değerleri yerine koyarak binom küpünü hesaplıyoruz.

$a$

$b$

formülde:

Fark küpü örneği

İlgili formülü kullanarak bir sonraki küp binomunu (farkını) hesaplayın:

$(3x-2)^3$

Bu alıştırmada bir pozitif ve bir negatif öğeye sahip bir çiftimiz var. Bu nedenle farkın küpü için formülü kullanmalıyız:

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

Bu nedenle bilinmeyenlerin değerinin belirlenmesi gerekmektedir.

$a$

$b$

formülü. Bu durumda,

$a$

tek terimli 3x’i temsil eder ve

$b$

binomun bağımsız terimidir, yani 2.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Parametrenin

$b$

sayının negatif işareti olmadan basitçe 2’ye eşittir. Formülü doğru bir şekilde uygulamak için bunu akılda tutmak önemlidir.

Son olarak değerlerini koyarak binom küpünü çözüyoruz.

$a$

$b$

formülde:

Binom küp formülünün kanıtı

Daha sonra küp binom formülünü göstereceğiz. Açıkçası bunu bilmek gerekli olmasa da, herhangi bir formülün arkasındaki cebiri anlamak her zaman iyidir.

Pozitif küplü bir binomdan:

$(a+b)^3$

Yukarıdaki ifade matematiksel olarak faktörün çarpımına ayrıştırılabilir.

$(a+b)$

karesine göre:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

Buna ek olarak çift

$(a+b)$

2’ye yükseltildiğinde dikkat çekici bir özdeşliktir, bu nedenle bunu bir toplamın karesi formülüyle çözebiliriz:

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

Şimdi dağılma özelliğini kullanarak iki parantezi çarpıyoruz:

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

Ve son olarak benzer görünen terimleri gruplandırmamız gerekiyor:

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Küplü binom formülünün doğrulanması için:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Mantıksal olarak, negatif binom küp formülünü çıkarmak için az önce yaptığımız adımların aynısını izleyin ancak terimden başlayın.

$b$

işareti değişti.

Öte yandan küp şeklinde binom formülü Pascal (veya Tartaglia) üçgeni kullanılarak da gösterilebilir. Bu matematik hilesinin ne olduğunu bilmiyorsanız adım adım anlatıldığı bu bağlantıyı size bırakıyoruz. Ayrıca sahip olduğu tüm uygulamaları ve bu çok özel cebirsel üçgenin özel geçmişini görebileceksiniz.

Çözülmüş binom küp problemleri

Binomun 3’üncü kuvvetinin hesaplanmasında az önce gördüğümüz teoriyi uygulayabilmeniz için, binomun küpe göre adım adım çözüldüğü birkaç alıştırma hazırladık.

Bu açıklama hakkında ne düşündüğünüzü bize söylemeyi unutmayın! Ayrıca aklınıza takılan her türlü soruyu bize sorabilirsiniz! 👍👍👍

1. Egzersiz

Aşağıdaki küp şeklinde binomları bulun:

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

Çözüme bakın

Sorunun tüm dikkate değer özdeşliklerini bulmak için, bunun toplama mı yoksa çıkarma mı olduğuna bağlı olarak binom formülünü küpe uygulamanız yeterlidir:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

Alıştırma 2

Karşılık gelen formülü uygulayarak iki miktarın küpüne ilişkin aşağıdaki binomları belirleyin:

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

Çözüme bakın

Alıştırmanın tüm önemli çarpımlarını hesaplamak için, toplam ve küp çıkarma formülünü kullanmalısınız:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

Son küp binomun monomlarının kesirli katsayıları vardır, dolayısıyla bunu çözmek için kesirlerin özelliklerini kullanmamız gerekir:

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

Küp binom nedir?

binom küp formülü

bir toplamın küpü

farkın küpü

Küplü binom örnekleri

Bir toplamın küpü örneği

Fark küpü örneği

Binom küp formülünün kanıtı

Çözülmüş binom küp problemleri

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Yorum bırakın Yanıtı iptal et