Bir matrisin özdeğerleri (veya özdeğerleri) ve özvektörleri (veya özvektörleri) -

Bu sayfada sırasıyla özdeğerler ve özvektörler olarak da adlandırılan özdeğerlerin ve özvektörlerin ne olduğunu açıklıyoruz. Ayrıca bunları nasıl hesaplayacağınıza dair örneklerin yanı sıra adım adım çözülmüş alıştırmalar da bulacaksınız.

Özdeğer ve özvektör nedir?

Özdeğer ve özvektör kavramını anlamak zor olsa da tanımı şu şekildedir:

Özvektörler veya özvektörler , doğrusal bir haritanın sıfır olmayan vektörleridir ve bu vektörler tarafından dönüştürüldüklerinde bunların skaler katlarına yol açarlar (yön değiştirmezler). Bu skaler özdeğer veya özdeğerdir .

$Av = \lambda v$

Altın

$A$

doğrusal haritanın matrisidir,

$v$

özvektördür ve

$\lambda$

kendi değeri.

Özdeğer aynı zamanda karakteristik değer olarak da bilinir. Ve özdeğerleri ve özvektörleri belirtmek için Almanca kök “öz”ü kullanan matematikçiler bile var: özdeğerler için özdeğerler ve özvektörler için özvektörler .

Bir matrisin özdeğerleri (veya özdeğerleri) ve özvektörleri (veya özvektörleri) nasıl hesaplanır?

Bir matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulmak için tüm prosedürü izlemeniz gerekir:

Matrisin karakteristik denklemi aşağıdaki determinantın çözülmesiyle hesaplanır:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)$

1. adımda elde edilen karakteristik polinomun köklerini buluyoruz. Bu kökler matrisin özdeğerleridir.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)=0 \ \longrightarrow \ \lambda$

Her özdeğerin özvektörü hesaplanır. Bunu yapmak için her bir özdeğer için aşağıdaki denklem sistemi çözülür:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

Bir matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulma yöntemi budur, ancak burada size bazı ipuçları da veriyoruz: 😉

İpuçları : Bunları daha kolay hesaplamak için özdeğerlerin ve özvektörlerin özelliklerinden yararlanabiliriz:

✓ Matrisin izi (ana köşegeninin toplamı) tüm özdeğerlerin toplamına eşittir.

$\displaystyle tr(A)=\sum_{i=1}^n \lambda_i$

✓ Tüm özdeğerlerin çarpımı matrisin determinantına eşittir.

$\displaystyle det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$

✓ Satırlar veya sütunlar arasında doğrusal bir kombinasyon varsa matrisin en az bir özdeğeri 0’a eşittir.

Yöntemi daha iyi anlamak için bir matrisin özvektörlerinin ve özdeğerlerinin nasıl hesaplandığına dair bir örnek görelim:

Bir matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini hesaplama örneği:

Aşağıdaki matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 5&2\end{pmatrix}$

Öncelikle matrisin karakteristik denklemini bulmamız gerekiyor. Bunun için de şu determinantın çözülmesi gerekir:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1- \lambda &0\\[1.1ex] 5&2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-3\lambda +2$

Şimdi karakteristik polinomun köklerini hesaplıyoruz, bu nedenle elde edilen sonucu 0’a eşitliyoruz ve denklemi çözüyoruz:

$\displaystyle \lambda^2-3\lambda +2 = 0$

$\lambda= \cfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1} = \cfrac{+3\pm 1}{2}=\begin{cases} \lambda = 1 \\[2ex] \lambda = 2 \end{cases}$

Denklemin çözümleri matrisin özdeğerleridir.

Özdeğerleri elde ettikten sonra özvektörleri hesaplarız. Bunu yapmak için her bir özdeğer için aşağıdaki sistemi çözmemiz gerekir:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

İlk önce özdeğer 1 ile ilişkili özvektörü hesaplayacağız:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-1 I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[1.1ex] 5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 0x+0y = 0 \\[2ex] 5x+y = 0\end{array}\right\}$

Bu denklemlerden aşağıdaki alt uzayı elde ederiz:

$\displaystyle y=-5x$

Özvektör alt uzaylarına özuzaylar da denir.

Şimdi bu temiz alanın tabanını bulmamız gerekiyor, bu yüzden örneğin değişkene 1 değerini veriyoruz.

$x$

ve aşağıdaki özvektörü elde ederiz:

$\displaystyle x = 1 \ \longrightarrow \ y=-5\cdot 1 = -5$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5\end{pmatrix}$

Son olarak, özdeğer 1 ile ilişkili özvektör bulunduğunda, özdeğer 2 için özvektörü hesaplama işlemini tekrarlıyoruz:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-2I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+0y = 0 \\[2ex] 5x+0y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=0$

Bu durumda vektörün yalnızca ilk bileşeni 0 olmalıdır, dolayısıyla vektöre herhangi bir değer verebiliriz.

$y$

. Ancak kolaylaştırmak için 1 koymak daha iyidir:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Sonuç olarak, matrisin özdeğerleri ve özvektörleri şöyledir:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Bir matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini nasıl bulacağınızı öğrendikten sonra merak edebilirsiniz… ve bunlar ne işe yarar? Matris köşegenleştirme için çok faydalı oldukları ortaya çıktı, aslında bu onların ana uygulamasıdır. Daha fazla bilgi edinmek için, prosedürün adım adım açıklandığı ve ayrıca örnekler ve çözülmüş alıştırmaların bulunduğu bağlantıyla bir matrisin nasıl köşegenleştirileceğine göz atmanızı öneririz.

Özdeğerler ve özvektörler (özdeğerler ve özvektörler) üzerine çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Aşağıdaki 2. dereceden kare matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini hesaplayın:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&1\\[1.1ex] 2&4\end{pmatrix}$

Çözüme bakın

İlk önce matris eksi λ’nın ana köşegenindeki determinantını hesaplıyoruz:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}3- \lambda &1\\[1.1ex] 2&4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-7\lambda +10$

Şimdi karakteristik polinomun köklerini hesaplayalım:

$\displaystyle \lambda^2-7\lambda +10=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases}$

Özdeğer 2 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A- 2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=-y$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

Daha sonra özdeğer 5 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&1\\[1.1ex] 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=2x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Bu nedenle A matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri şöyledir:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki 2×2 kare matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini belirleyin:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1\\[1.1ex] 3&0\end{pmatrix}$

Çözüme bakın

Karakteristik denklemi elde etmek için öncelikle matris eksi λ’nın ana köşegenindeki determinantını hesaplıyoruz:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2- \lambda &1\\[1.1ex] 3&-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-2\lambda -3$

Şimdi karakteristik polinomun köklerini hesaplayalım:

$\displaystyle \lambda^2-2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}$

Özdeğer -1 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-(-1)I)v=0$

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3&1\\[1.1ex] 3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 3x+1y = 0 \\[2ex] 3x+1y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=-3x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

Daha sonra özdeğer 3 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&1\\[1.1ex] 3&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -1x+1y = 0 \\[2ex] 3x-3y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Bu nedenle A matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri şöyledir:

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki 3. mertebeden matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini belirleyin:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&2&0\\[1.1ex] 2&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}$

Çözüme bakın

Karakteristik denklemi elde etmek için öncelikle A matrisinin determinantını birim matris ile lambda ile çarparak çözmeliyiz:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}$

Bu durumda, determinantın son sütununda iki sıfır vardır, dolayısıyla determinantı bu sütun aracılığıyla kofaktörlere (veya tamamlayıcılara) göre hesaplamak için bundan yararlanacağız:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}& = (2-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&2\\[1.1ex] 2&1-\lambda \end{vmatrix} \\[3ex] & = (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3] \end{aligned}$

Şimdi karakteristik polinomun köklerini hesaplamamız gerekiyor. Parantezleri çarpmamak daha iyidir çünkü o zaman üçüncü dereceden bir polinom elde ederiz, diğer yandan iki faktör ayrı ayrı çözülürse özdeğerleri elde etmek daha kolaydır:

$\displaystyle (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 2-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 2 \\[2ex] \lambda^2 -2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases} \end{cases}$

Özdeğer 2 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -1&2&0\\[1.1ex] 2&-1&0\\[1.1ex] 0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+2y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\\[2ex] y=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=0 \\[2ex] x=y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Özdeğer -1 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A+I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&2&0\\[1.1ex] 2&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+2y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\\[2ex] y+3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-3z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Özdeğer 3 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&0\\[1.1ex] 2&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y = 0 \\[2ex] 2x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Bu nedenle A matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri şöyledir:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Alıştırma 4

Aşağıdaki 3×3 kare matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini hesaplayın:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}$

Çözüme bakın

Karakteristik denklemi elde etmek için öncelikle matris eksi λ’nın determinantını ana köşegeninde çözeriz:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&1&3\\[1.1ex]-1&1-\lambda&1\\[1.1ex] 1&2&4-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-10\lambda$

Karakteristik polinomdan ortak bir faktör çıkarıyoruz ve her denklemden λ’yı çözüyoruz:

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2+7\lambda-10)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0\\[2ex] -\lambda^2+7\lambda-10=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases} \end{cases}$

Özdeğer 0 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+y+3z= 0 \\[2ex] -x+y+z= 0\\[2ex] x+2y+4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-\cfrac{2z}{3} \\[4ex] y=-\cfrac{5z}{3} \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5\\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

Özdeğer 2 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1&3\\[1.1ex]-1&-1&1\\[1.1ex] 1&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} y+3z = 0 \\[2ex] -x-y+z= 0\\[2ex] x+2y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-3z \\[2ex] x=4z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}4\\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Özdeğer 5 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -3&1&3\\[1.1ex]-1&-4&1\\[1.1ex] 1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -3x+y+3z = 0 \\[2ex] -x-4y+z = 0\\[2ex] x+2y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=z \\[2ex] y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Bu nedenle A matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri şöyledir:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5 \\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}4 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Alıştırma 5

Aşağıdaki 3×3 matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini hesaplayın:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&2&2\\[1.1ex] 1&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}$

Çözüme bakın

Karakteristik denklemi elde etmek için öncelikle matris eksi λ’nın determinantını ana köşegeninde çözeriz:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&2&2\\[1.1ex] 1&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&3-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-14\lambda+8$

Ruffini kuralını kullanarak karakteristik polinomun veya minimum polinomun kökünü buluruz:

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} & -1&7&-14&8 \\[2ex] 1 & & -1&6&-8 \\ \hline &-1\vphantom{\Bigl)}&6&-8&0 \end{array}$

Daha sonra elde edilen polinomun köklerini buluruz:

$\displaystyle -\lambda^2+6\lambda -8=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda =2 \\[2ex] \lambda = 4 \end{cases}$

Yani matrisin özdeğerleri şöyledir:

$\lambda=1 \qquad \lambda =2 \qquad \lambda = 4$

Özdeğer 1 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&2&2\\[1.1ex] 1&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+2y+2z= 0 \\[2ex] x+y= 0\\[2ex] y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-2z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] -2\\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Özdeğer 2 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&2&2\\[1.1ex] 1&0&0\\[1.1ex] 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2y+2z = 0 \\[2ex] x= 0\\[2ex] y+z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-z \\[2ex] x=0\end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0\\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Özdeğer 4 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-4I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&2\\[1.1ex] 1&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y+2z = 0 \\[2ex] x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=2y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Bu nedenle A matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri şöyledir:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}2\\[1.1ex] -2 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 4 \qquad v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

Alıştırma 6

Aşağıdaki 4×4 matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}$

Çözüme bakın

Karakteristik denklemi elde etmek için öncelikle matris eksi λ’nın determinantını ana köşegeninde çözmeliyiz:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}$

Bu durumda, determinantın son sütunu bir öğe dışında yalnızca sıfırlar içerir; bu nedenle determinantı bu sütun aracılığıyla kofaktörlere göre hesaplamak için bundan yararlanacağız:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}& = (3-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda\end{vmatrix} \\[3ex] & = (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda] \end{aligned}$

Şimdi karakteristik polinomun köklerini hesaplamamız gerekiyor. Parantezleri çarpmamak daha iyidir çünkü o zaman dördüncü dereceden bir polinom elde ederiz, diğer yandan iki faktör ayrı ayrı çözülürse özdeğerleri hesaplamak daha kolaydır:

$\displaystyle (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 3-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 3 \\[2ex] -\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda =0 \ \longrightarrow \ \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3) =0 \end{cases}$

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0 \\[2ex] -\lambda^2 +2\lambda +3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=-1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}\end{cases}$

Özdeğer 0 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} w-y = 0 \\[2ex] 2w-x-3y = 0\\[2ex] -2w+2y=0 \\[2ex] 3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} w=y \\[2ex] x=-w \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Özdeğer -1 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&0&-3&0\\[1.1ex] -2&0&3&0\\[1.1ex] 0&0&0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2w-y = 0 \\[2ex] 2w-3y = 0\\[2ex] -2w+3y=0 \\[2ex] 4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=w=0 \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Özdeğer 3 ile ilişkili özvektörü hesaplıyoruz:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-4&-3&0\\[1.1ex] -2&0&-1&0\\[1.1ex] 0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2w-y = 0 \\[2ex] 2w-4x-3y = 0\\[2ex] -2w-y=0 \\[2ex] 0=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-2w \\[2ex] x=2w \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

Özdeğer 3’ün çokluğu 2’ye eşittir çünkü iki kez tekrarlanır. Bu nedenle aynı denklemleri karşılayan başka bir özvektör bulmalıyız:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1 \end{pmatrix}$

Bu nedenle A matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri şöyledir:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1\end{pmatrix}$

Özdeğer ve özvektör nedir?

Bir matrisin özdeğerleri (veya özdeğerleri) ve özvektörleri (veya özvektörleri) nasıl hesaplanır?

Bir matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini hesaplama örneği:

Özdeğerler ve özvektörler (özdeğerler ve özvektörler) üzerine çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Alıştırma 4

Alıştırma 5

Alıştırma 6

Yorum bırakın Yanıtı iptal et