Değiştirilebilir matrisler

Bu sayfada değiştirilebilir matrislerin ne olduğunu açıklıyoruz. Ayrıca kavramı daha iyi anlamak için örnekler görebileceksiniz ve son olarak herhangi bir matrisle değişimli tüm matrisleri hesaplamayı öğreneceğimiz adım adım çözülmüş bir alıştırma bulacaksınız.

Değiştirilebilir matrisler nelerdir?

Çarpımlarının sonucu çarpma sırasına bağlı değilse iki matris değiştirilebilir . Başka bir deyişle, değiştirilebilir matrisler aşağıdaki koşulu karşılar:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

Bu değiştirilebilir matrislerin tanımıdır, şimdi bir örnek görelim:

Değiştirilebilir matris örnekleri

Aşağıdaki 2×2 boyutlu iki matris aralarında değiştirilebilir:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

İki matrisin değiştirilebilirliği, çarpımlarının her iki yönde hesaplanmasıyla gösterilebilir:

2x2 boyutunda değiştirilebilir matris örneği

Gördüğünüz gibi, çarpılma sırasına bakılmaksızın her iki çarpmanın sonucu aynıdır. Yani matrisler

$A$

$B$

değiştirilebilirler.

Çözülmüş matris değiştirme alıştırması

Daha sonra değiştirilebilir bir matris alıştırmasının nasıl çözüleceğini adım adım göreceğiz:

Aşağıdaki kare matrisle değişen tüm matrisleri belirleyin:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Bu sorunu çözmek için bilinmeyen bir matris oluşturacağız:

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

Bu nedenle bu bilinmeyen matrisi bulmamız gerekiyor.

Bunu yapmak için tüm işe gidip gelme matrislerinin karşıladığı özellikten yararlanacağız:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Şimdi denklemin her iki tarafındaki matrisleri çarpıyoruz:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

Bu nedenle eşitliğin sağlanması için aşağıdaki denklemlerin karşılanması gerekir:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Yani tek yapmamız gereken denklem sistemini çözmek. Son denklemden şunu çıkarabiliriz

$b$

eşit olmalı

$c$

$b=c$

Ve eğer bu iki bilinmeyen eşdeğerse, üçüncü denklem ikinciyle tekrarlanır, dolayısıyla onu ortadan kaldırabiliriz:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Üstelik ilk denklemden herhangi bir sonuç çıkaramayız çünkü:

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

Bu nedenle elimizde yalnızca ikinci ve son denklem kalıyor:

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

Böylece matrisler matrisle yer değiştirir

$A$

önceki iki denklemi doğrulayanların tümü. Dolayısıyla bilinmeyen matriste bulunan ifadeleri baştan yerine koyarak matrislerin biçimini bulabiliriz.

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

Altın

$b$

$d$

iki gerçek sayıdır.

Yani matrisle değişmeli olan bir matris örneği

$A$

aşağıdaki gibi olacaktır:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$