▷ Sinüs türevi (çözülmüş formül ve alıştırmalar)

Bu yazıda sinüs türevinin (formül) nasıl oluşturulacağını açıklıyoruz. Sinüzoidal fonksiyonların türevlerine ilişkin örnekler ve adım adım çözülmüş alıştırmalar bulacaksınız. Ek olarak size sinüsün ikinci türevini, sinüsün ters türevini gösteriyoruz ve hatta sinüs türevinin formülünü de gösteriyoruz.

Sinüs’ün türevi nedir?

Sinüs fonksiyonunun türevi kosinüs fonksiyonudur. Dolayısıyla sinüs x’in türevi, kosinüs x’e eşittir.

$f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)$

Sinüs argümanında bir fonksiyon varsa, sinüsün türevi, söz konusu fonksiyonun kosinüsünün fonksiyonun türeviyle çarpımıdır.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Sinüs türevi için bu ikinci formül, zincir kuralının birinci formüle uygulanmasıyla elde edilir. Yani özetle sinüs fonksiyonunun türevinin formülü şöyledir:

Sinüs türevi örnekleri

Sinüs türevi formülünün ne olduğunu gördükten sonra, sinüs fonksiyonunun nasıl türetileceğini tam olarak anlamanız için bu tür trigonometrik türevlerin birkaç örneğini açıklayacağız.

Örnek 1: 2x’in sinüsünün türevi

$f(x)=\text{sen}(2x)$

Sinüs argümanında x’ten farklı bir fonksiyonumuz var, dolayısıyla sinüsü türetmek için aşağıdaki formülü kullanmamız gerekiyor:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

2x’in türevi 2’dir, dolayısıyla 2x’in sinüs türevi, 2x çarpı 2’nin kosinüsünün çarpımıdır.

$f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)$

Örnek 2: Sinüs x karenin türevi

$f(x)=\text{sen}(x^2)$

Sinüs fonksiyonunun türevinin formülü şöyledir:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Ve x ^2’nin türevi 2x’e eşit olduğundan, sinüs x’in 2’ye yükseltilmiş türevi şöyle olur:

$f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x$

Örnek 3: Sinüs küpün türevi

$f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)$

Bu örnekte sinüs fonksiyonu başka bir fonksiyondan oluşuyor; dolayısıyla sinüsün türevini almak için aşağıdaki kuralı kullanmamız gerekiyor:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Dolayısıyla fonksiyonun türevi şu şekildedir:

$f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)$

➤ Bu fonksiyonu türetmek için ayrıca bir kuvvetin türevi formülünü de uygulamanız gerekir.

Sinüsün ikinci türevi

Daha sonra sinüs fonksiyonunun ikinci türevini analiz edeceğiz çünkü trigonometrik bir fonksiyon olduğundan belirli özellikler sunar.

Yukarıda gördüğümüz gibi sinüsün türevi kosinüstür. Kosinüsün türevi sinüs ama işareti değişti. Bu , sinüsün ikinci türevinin sinüsün kendisi olduğu ancak işaretinin değiştiği anlamına gelir.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}$

Ancak sinüs argümanı x değilse bu durum değişir çünkü zincir kuralı terimini sürüklememiz gerekir:

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}$

Ters sinüzoidal türev

Bildiğiniz gibi her trigonometrik fonksiyonun bir ters fonksiyonu vardır, dolayısıyla ters sinüs de türevlenebilir.

Ters sinüsün türevi, argüman fonksiyonunun türevinin bölümünün, birin karekökü eksi argüman fonksiyonunun karesine bölünmesine eşittir.

$f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Ters sinüsün aynı zamanda ark sinüs olarak da adlandırıldığını unutmayın.

Örneğin 5x’in ters sinüs türevi:

$f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$

Sinüs türevi ile ilgili çözülmüş alıştırmalar

Aşağıdaki sinüzoidal fonksiyonların türevlerini hesaplayın:

$\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)$

$\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)$

Çözümü görün

$\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)$

$\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)$

$\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}$

$\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)$

$\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}$

$\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4$

Sinüs türevinin gösterilmesi

Bu bölümde türevin tanımını kullanarak sinüs x’in türevinin kosinüs x olduğunu göstereceğiz:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Bu durumda türetilecek fonksiyon sin(x) olur, dolayısıyla:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}$

Bir toplamın sinüsü aşağıdaki trigonometrik özdeşlik uygulanarak yeniden yazılabilir:

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}$

Kesri aynı paydaya sahip iki kesre dönüştürüyoruz. Bu işlemi bir toplamın limiti kanunu sayesinde yapabiliriz.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}$

➤ Bakınız: limit kanunları

Sinüs x ve kosinüs x terimleri h’nin değerine bağlı değildir, dolayısıyla bunları limitin dışına çıkarabiliriz:

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}$

Şimdi tek yapmamız gereken şu iki trigonometrik limiti uygulamak:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

➤ Not: Web sitemizin arama motorunda önceki iki trigonometrik limitin gösterimini arayabilirsiniz.

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1$

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)$

Böylece sinüs x’in türevinin kosinüs x olduğunu göstermiş oluyoruz.

Meme türetilmiş

Sinüs’ün türevi nedir?

Sinüs türevi örnekleri

Örnek 1: 2x’in sinüsünün türevi

Örnek 2: Sinüs x karenin türevi

Örnek 3: Sinüs küpün türevi

Sinüsün ikinci türevi

Ters sinüzoidal türev

Sinüs türevi ile ilgili çözülmüş alıştırmalar

Sinüs türevinin gösterilmesi

Yorum bırakın Yanıtı iptal et