▷ Bir sabitin türevi (çözülmüş örnekler)

Burada bir sabitin türevinin ne kadar değerli olduğunu (örneklerle) açıklıyoruz. Ayrıca bir sabitin bir fonksiyonla çarpımının, bir sabitin bir fonksiyona bölünmesinin ve bir fonksiyon olarak elde edilen bir sabitin türevini nasıl hesaplayacağınızı da öğretiyoruz. Son olarak sabitlerin türevleri üzerine çözümlü alıştırmalar yapabilirsiniz.

Bir sabitin türevi nedir

Bir sabitin türevi, sabitin değeri ne olursa olsun daima sıfırdır .

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

Dolayısıyla sabit bir fonksiyonun türevini bulmak için herhangi bir hesaplama yapmaya gerek yoktur, türev basitçe sıfırdır.

Bir sabit fonksiyonun grafiğinin eğimi olmadığından, bir sabitin türevi sıfırdır.

Sabitlerin türevlerine örnekler

Sabit bir fonksiyonun türevinin tanımı göz önüne alındığında, kavramı tam olarak anlamak için birkaç çözülmüş örnek göreceğiz:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Gördüğünüz gibi bir sabitin türevi her zaman 0 verir. Sabitin işaretinin pozitif ya da negatif olması, sabitin değerinin çok büyük ya da çok küçük olması önemli değildir, türevi sıfır olacaktır.

Bir sabitin türevinin kanıtı

Bir sabitin türevinin ne kadar olduğunu gördükten sonra bu türevin neden sıfıra eşit olduğunu göstereceğiz.

F herhangi bir değerin sabit bir fonksiyonu olsun:

$f(x)=k$

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini hesaplama formülü şöyledir:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤ Bakınız: türevin tanımı

Yani sabit fonksiyonun limitini çözersek:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

Yani sabit bir fonksiyonun türevi her noktada 0’dır. Bu nedenle bir sabitin türevinin formülü gösterilmiştir.

Bir sabitin bir fonksiyona göre türevi

Az önce tek bir sabitin, yani herhangi bir değişkeni olmayan bir fonksiyonun türevini analiz ettik. Ancak bildiğiniz gibi işlevler işlemler kullanılarak birleştirilebilir. Bu nedenle, aşağıda diğer fonksiyon türleriyle birleştirilmiş sabitlerin türevlerini inceleyeceğiz; örneğin bir sabitin türevinin başka bir fonksiyon türüyle çarpımı.

Bir sabitin bir fonksiyonla çarpımı, sabitin fonksiyonun türeviyle çarpımına eşittir.

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

Örneğin aşağıdaki ikinci dereceden fonksiyonun türevi:

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

Bu nedenle, bu fonksiyonu bir sabitle çarpmanın türevi, önceki adımda hesaplanan türevi sabitle çarpmaya eşdeğerdir:

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

Bir fonksiyon arasındaki sabitin türevi

Bir fonksiyon arasındaki bir sabitin türevi, değiştirilmiş sabitin çarpımının fonksiyonun türevinin kare fonksiyonuna bölünmesine eşittir.

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

Örneğin, aşağıdaki sabitin türevinin doğrusal bir fonksiyona bölümü:

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

8x’in türevi 8 olduğuna göre.

Fonksiyonda yükseltilmiş bir sabitin türevi

Fonksiyon olarak yükseltilmiş bir sabitin türevi, sabitin doğal logaritmasının fonksiyon olarak yükseltilmiş sabit ile fonksiyonun türevinin çarpımının çarpımına eşittir.

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

Örneğin sinüsün türevi kosinüs olduğundan, büyük bir sabitin sinüse farklılaştırılması şunu verir:

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

Sabitlerin türevleri üzerine çözülmüş alıştırmalar

Aşağıdaki sabitlerin türevlerini çözün:

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

Çözümü görün

Alıştırma F)’ye kadar tüm fonksiyonlar basit sabit değerlerdir, dolayısıyla tüm türevleri sıfır verir.

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

Kesirli ya da kök olsa bile fonksiyonun değişkeni yoksa bu onun sabit bir fonksiyon olduğu ve dolayısıyla türevinin sıfır olduğu anlamına gelir.

Buna karşılık, aşağıdaki üç alıştırma, sabitlerin diğer işlevlerle işlemleri olan işlevlerdir. Bu nedenle türevlerini hesaplamak için karşılık gelen formülleri uygulamamız gerekir:

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

Bir sabitten türetilmiştir