Yandal, asistan ve asistan tamamlayıcı matrisi

Bu bölümde bunların ne olduğunu ve tamamlayıcı küçük, ek ve ek matrisin nasıl hesaplanacağını göreceğiz. Ayrıca, mükemmel bir şekilde anlamanız için örnekler ve pratik yapabilmeniz için adım adım çözülmüş alıştırmalar bulacaksınız.

Tamamlayıcı küçük nedir?

Bir elementin küçük tamamlayıcısı denir.

$a_{ij}$

satırın silinmesiyle elde edilen determinant

$i$

ve sütun

$j$

bir matrisin.

Bir elementin tamamlayıcı minörü nasıl hesaplanır?

Bazı örnekler kullanarak bir elementin tamamlayıcı minörünün nasıl hesaplandığını görelim:

Örnek 1:

Aşağıdaki 3 × 3 kare matrisin 1’inin küçük tamamlayıcısını hesaplayın:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

1’in tamamlayıcı küçük değeri, 1’in bulunduğu satır ve sütun ortadan kaldırıldığında kalan matrisin determinantıdır. Yani, ilk satırı ve ikinci sütunu kaldırmak:

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

Örnek 2:

Bu sefer daha önce olduğu gibi aynı matrisin 0’ın tamamlayıcı küçükünü hesaplayacağız:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

0’ın tamamlayıcı küçüğü, 0’ın olduğu satır ve sütunu çıkararak matrisin determinantıdır:

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

Tamamlayıcı küçükler için çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Aşağıdaki 3×3 matrisin 3’ünün en küçük tümleyenini hesaplayın:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

3’ün tamamlayıcı küçük değeri, 3’ün olduğu satır ve sütun çıkarıldıktan sonra kalan matrisin determinantıdır:

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki 3. mertebeden matrisin 5’inin tamamlayıcı minörünü bulun:

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

5’in tamamlayıcı küçük değeri, 5’in olduğu satır ve sütunu silerek elde ettiğimiz matrisin determinantıdır:

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki 4×4 matrisin 6’sının küçük tamamlayıcısını hesaplayın:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

6’nın tamamlayıcı küçük değeri, 6’nın olduğu satır ve sütun çıkarıldıktan sonra kalan matrisin determinantıdır:

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

Determinantı Sarrus kuralıyla çözüyoruz:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

Bir dizi öğesinin eki nedir?

Vekili

$a_{ij}$

, yani satır öğesi

$i$

ve sütun

$j$

, aşağıdaki formülle elde edilir:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Bir dizi öğesinin eki nasıl alınır?

Bir elemanın ekinin nasıl hesaplandığını birkaç örnekle görelim:

Örnek 1:

Aşağıdaki 3. mertebeden matrisin 4’ünün ekini hesaplayın:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

4, 2. satırda ve 1. sütundadır , yani bu durumda

$i = 2$

$j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

Ve daha önce gördüğümüz gibi, 4’ün küçük tümleyeni matrisin determinantıdır ve 4’ün bulunduğu satır ve sütunu ortadan kaldırır. Öyleyse:

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

Şimdi determinantı çözüyoruz ve 4’ün ekini buluyoruz:

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

Çift üslü bir negatif sayının pozitif olduğunu unutmayın . Bu nedenle -1 çift sayıya yükseltilirse pozitif olacaktır.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

Öte yandan, negatif bir sayı tek bir üsse yükseltilirse negatif olur. Bu nedenle -1 tek sayıya yükseltilirse her zaman negatif olacaktır.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

Örnek 2:

Daha önce olduğu gibi aynı matrisin 5’inin yardımcısını bulacağız:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

Örnek 3:

Aynı matrisin 3’ünün vekilini yapalım:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

Bir elemanın eki, daha sonra göreceğimiz gibi determinantları hesaplamak ve şimdi göreceğimiz gibi ek matrisi hesaplamak için kullanılır.

Asistanlar için çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Aşağıdaki 3×3 matrisin 2’sinin ekini hesaplayın:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

2’nin ekinin sonucunu elde etmek için, bir elemanın eki için formülü uygulamanız yeterlidir:

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki 3. mertebeden matrisin 4’ünün ekini bulun:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

4’ün vekilini elde etmek için bir unsurun vekilinin formülünü kullanmalıyız:

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki 4×4 matrisin 7’sinin yardımcısını bulun:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

7’nin ekini yapmak için bir elemanın ekinin formülünü uygularız:

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

Üçüncü dereceden determinantı çözmek için Sarrus kuralını uyguluyoruz:

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

Ekteki matris nedir?

Ekli dizi, tüm elemanlarının yardımcıları tarafından değiştirildiği bir dizidir.

Birleşik matris nasıl hesaplanır?

Yardımcı matrisi hesaplamak için matrisin tüm elemanlarını yardımcılarının yerine koymamız gerekir.

Birleştirilmiş matrisin nasıl yapıldığını bir örnek üzerinden görelim:

Örnek:

Aşağıdaki 2×2 boyutlu kare matrisin ek matrisini hesaplayın:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

Eş matrisi hesaplamak için matrisin her bir elemanının ek değerini hesaplamamız gerekir. Bu nedenle öncelikle tüm elemanların eklerini aşağıdaki formülle çözeceğiz:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Şimdi dizideki her öğeyi değiştirmemiz gerekiyor

$A$

vekil matrisini bulmak için vekili tarafından

$\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

Ve bu şekilde bir matrisin vekili bulunur. Ama muhtemelen tüm bu hesaplamaların ne için olduğunu merak ediyorsunuz? Matris birleşiminin faydalarından biri de bir matrisin tersini hesaplamaktır. Aslında ters matrisi bulmanın en yaygın yöntemi ek matris yöntemidir.

Çözülmüş ek matris problemleri

1. Egzersiz

Aşağıdaki 2×2 kare matrisin ek matrisini hesaplayın:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

Ek matrisi hesaplamak için matrisin her bir elemanının ek değerini hesaplamamız gerekir. Bu nedenle öncelikle tüm elemanların eklerini aşağıdaki formülle çözeceğiz:

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

Şimdi dizideki her öğeyi değiştirmemiz gerekiyor

$A$

vekili matrisini bulmak için vekili tarafından

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki ikinci dereceden matrisin ek matrisini bulun:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

Ek matrisi hesaplamak için matrisin her bir elemanının ek değerini hesaplamamız gerekir. Bu nedenle öncelikle tüm elemanların eklerini aşağıdaki formülle çözeceğiz:

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

Şimdi dizideki her öğeyi değiştirmemiz gerekiyor

$A$

vekili matrisini bulmak için vekili tarafından

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki 3×3 matrisin ek matrisini hesaplayın:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

Ek matrisi hesaplamak için matrisin her bir elemanının ek değerini hesaplamamız gerekir. Bu nedenle öncelikle tüm elemanların eklerini aşağıdaki formülle çözeceğiz:

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

Şimdi dizideki her öğeyi değiştirmemiz gerekiyor

$A$

vekili matrisini bulmak için vekili tarafından

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

Tamamlayıcı küçük nedir?

Bir elementin tamamlayıcı minörü nasıl hesaplanır?

Örnek 1:

Örnek 2:

Tamamlayıcı küçükler için çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Bir dizi öğesinin eki nedir?

Bir dizi öğesinin eki nasıl alınır?

Örnek 1:

Örnek 2:

Örnek 3:

Asistanlar için çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Ekteki matris nedir?

Birleşik matris nasıl hesaplanır?

Örnek:

Çözülmüş ek matris problemleri

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Yorum bırakın Yanıtı iptal et