Matris tanımı ve matris türleri

Bu yazımızda matrislerin ne olduğunu ve bir matrisin boyutunun nasıl belirlendiğini açıklayacağız. Ayrıca örnek matrisleri göreceksiniz. Ve son olarak hangi matris türlerinin en önemli olduğunu bulacaksınız.

Matris nedir?

bir komut matrisi

$m \times n$

şeklinde düzenlenmiş bir sayı kümesidir

$m$

satırlar ve

$n$

Sütunlar:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

matris örnekleri

Aşağıda farklı matrislerin birkaç örneği verilmiştir:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

Bir tablonun boyutları

Bir dizinin boyutu

$\bm{m \times n}$

. Altın

$m$

matrisin satır sayısına karşılık gelir ve

$n$

sütun sayısına kadar.

Örnekler:

boyut matrisi

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

boyut matrisi

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Matris türleri

Aşağıda en önemli matris türlerinin özelliklerini açıklıyoruz.

satır matrisi

Yalnızca bir satırı olan bu matristir:

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

sütun matrisi

Yalnızca bir sütunu olan bu matristir:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

aktarılmış matris

Transpoze veya transpozisyon matrisi, satırların sütunlara dönüştürülmesiyle elde edilen matristir. Ve matrisin sağ üst köşesine “t” konularak temsil edilir.

$\left(A^t \right) .$

Örnekler:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

Kare matris

Kare matris, sütun sayısıyla aynı sayıda satıra sahip olan bir matristir.

$(m=n ) .$

Örneğin, 3. dereceden bir kare matris şöyle olacaktır:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

Bir kare matrisin ana köşegeni, sol üst köşeden sağ alt köşeye giden öğelerden oluşur:

Bir kare matrisin ikincil köşegeni, sol alt köşeden sağ üst köşeye giden öğelere karşılık gelir:

Muhtemelen en çok kullanılan matris türü olduğundan ve dolayısıyla doğrusal cebir için çok önemli olduğundan, kare matrislerin tüm özelliklerini görmenizi öneririz.

üçgen matris

Üçgen matris, ana köşegenin üstündeki veya altındaki tüm elemanların 0 olduğu bir matristir.

Üçgen matrisler iki türe ayrılır: ana köşegenin altındaki elemanları sıfır olan üst üçgen matrisler ve ana köşegenin üzerindeki elemanları sıfır olan alt üçgen matrisler . Aralarındaki farkları tam olarak anlamak için diğer üçgen matris örneklerine göz atabilirsiniz.

Üst üçgen matris:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Alt üçgen matris:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

Diyagonal matris

Köşegen matris, ana köşegen üzerinde olmayan tüm elemanların sıfır olduğu bir kare matristir. Köşegen matrislerin özelliklerini ve diğer örneklerini bu bağlantıda görebilirsiniz.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Bu matrisler çok sayıda 0 içermesi nedeniyle çok basit görünse de aslında matematik açısından oldukça önemlidir. Aslında bir matrisi köşegenleştirmenin bütün bir prosedürü vardır, dolayısıyla köşegenleştirilebilir matrisler büyük önem taşır.

skaler matris

Skaler matris, ana köşegenin tüm elemanlarının eşit olduğu köşegen bir matristir. İsterseniz burada skaler matrislerin diğer örneklerini görebilirsiniz.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Kimlik matrisi veya birimi

Kimlik matrisi, ana köşegenin tüm elemanlarının 1’e eşit olduğu köşegen bir matristir.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Herhangi bir köşegen matris gibi, çok basit bir matris tipine benziyor. Ancak görüntüsüne aldanmayın, özelliklerinden dolayı yaygın olarak kullanılan bir matristir, örneğin bir matrisi ters çevirmek için kullanılır. Kullanışlılığını anlamak için kimlik matrisinin özelliklerini incelemenizi öneririz.

boş matris

Sıfır matris, tüm elemanlarının 0 olduğu bir matristir:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Gördüğünüz gibi bu matris hiç de karmaşık değil. Ancak öyle görünmese de kullanım alanları vardır. Uygulamalarını boş matris özellikleri sayfasında görebilirsiniz.

simetrik matris

Simetrik bir matris, ana köşegeni bir simetri ekseni olan bir matristir.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

Simetrik matrislerin özelliklerinden dolayı simetrik bir matrisin yer değiştirmesinin sonucu matrisin kendisidir.

antisimetrik matris

Antisimetrik bir matris, ana köşegenin sıfırlarla doldurulduğu bir matristir ve ayrıca bir antisimetri eksenidir.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Aşağıdaki bağlantıda antisimetrik matrislerin tüm özelliklerini ve daha fazla örneğini görebilirsiniz.

Artık masa türlerini gördüğünüze göre muhtemelen şunu merak ediyorsunuzdur: Bütün bunların amacı ne? Ana uygulamalardan biri matris işlemleridir, bunların en önemlisi çarpmadır, bunun nasıl yapıldığını çarpma matrisi sayfasında da görebilirsiniz.