Çizgi: tanımı, özellikleri, türleri, denklemi…; -Mathority

Doğru ile ilgili herşeyin açıklanması: nedir, çeşitleri nelerdir, bir doğru matematiksel olarak nasıl ifade edilir (denklemler), doğruların göreceli konumları nelerdir, iki doğru arasındaki açı nasıl hesaplanır, çizgilerin yorumlanması Bir doğrunun eğimi,…

Çizgi nedir?

Çizginin matematiksel tanımı şu şekildedir:

Bir çizgi, eğriler veya açılar olmaksızın aynı yönde temsil edilen ardışık noktaların sonsuz bir kümesidir.

Öte yandan bir çizgi, iki farklı nokta arasındaki mümkün olan minimum mesafeye karşılık gelir.

Ek olarak çizgi, aynı yönde uzanan bir çizgidir, dolayısıyla yalnızca tek boyutu vardır.

Hat türleri

Çizgilerin ne olduğunu az önce gördük ancak birden fazla çizgi türünün olduğunu ve her birinin kendine has özellikleri olduğunu bilmelisiniz. Buna göre çizgiler şu şekilde sınıflandırılabilir:

Paralel çizgiler

Paralel çizgiler hiçbir zaman kesişmeyen, yani yörüngeleri sonsuza kadar uzansa bile birbirlerine asla değmeyen çizgilerdir. Bu nedenle iki paralel doğrunun noktaları birbirine her zaman aynı uzaklıkta olur ve üstelik iki paralel doğrunun hiçbir ortak noktası yoktur.

Kesişen çizgiler

Matematikte iki doğru yalnızca bir noktada kesiştiğinde kesişir . Bu nedenle kesişen doğruların tek bir ortak noktası vardır.

Kesişen çizgilere bir örnek, dört eşit dik açı (90°) oluşturan bir noktada kesişen çizgiler olan dik çizgilerdir.

Bildiğiniz gibi dik çizgiler çok önemlidir ve bu nedenle bu tür çizgiler hakkında bilmeniz gereken her şeyin açıklandığı bir sayfamız var: iki doğru dik olduğunda, birbirine dik bir çizgi nasıl hesaplanır, örnekler ve dik çizgiler üzerinde çözülmüş alıştırmalar ve çok daha fazlası. Daha fazla bilgi edinmek isterseniz diye size çizgiler arasındaki diklik sayfasını bırakıyorum.

Öte yandan, kesişen ancak kesişmeyen 90 derecelik bir açıyla farklı bir açı oluşturan çizgilere eğik çizgiler denir.

çakışan çizgiler

İki çakışık doğru, tüm noktaları ortak olan iki doğrudur. Bu nedenle çakışan iki doğru tamamen aynıdır.

ışın

Bir doğrunun bir noktasından kesilerek bölündüğü iki parçanın her birine yarım çizgi denir.

Örneğin, önceki çizgi A noktasına bölünerek yarım çizgiler oluşturulabilir.

$s$

$t.$

Doğrunun denklemi

Analitik geometride herhangi bir doğruyu analitik olarak ifade etmek için doğrunun denklemlerini kullanırız. Ve bir doğrunun denklemini düzlemde (R2’de) ya da uzayda (R3’te) bulmak için ihtiyacınız olan tek şey doğruya ait bir nokta ve söz konusu doğrunun yön vektörüdür.

Önceki satırın grafiksel gösteriminde de görebileceğiniz gibi, satırlar küçük harfle adlandırılmıştır, bu durumda

$r.$

Bir doğrunun çeşitli denklem türleri vardır. Tüm çizgi denklemi türlerinin amacı aynıdır: Bir çizgiyi matematiksel olarak temsil etmek. Ancak doğrunun her denkleminin kendine has özellikleri vardır ve bu nedenle soruna bağlı olarak birini veya diğerini kullanmak daha iyidir. Aşağıda doğrunun tüm denklemleri için formüller bulunmaktadır.

Doğrunun vektör denklemi

Evet

$\vv{\text{v}}$

çizginin yön vektörüdür ve

$P$

sağa ait bir nokta:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Doğrunun vektör denkleminin formülü şöyledir:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

Altın:

$x$

Ve

$y$

doğru üzerindeki herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatlarıdır.
$P_1$

Ve

$P_2$

çizginin bir kısmını oluşturan bilinen bir noktanın koordinatlarıdır

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

Ve

$\text{v}_2$

çizginin yön vektörünün bileşenleridir

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

değeri çizgi üzerindeki her noktaya bağlı olan bir skalerdir (gerçek sayı).

Doğrunun parametrik denklemleri

Bir doğrunun parametrik denkleminin formülü aşağıdaki gibidir:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

Altın:

$x$

Ve

$y$

doğru üzerindeki herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatlarıdır.
$P_1$

Ve

$P_2$

çizginin bir kısmını oluşturan bilinen bir noktanın koordinatlarıdır

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

Ve

$\text{v}_2$

çizginin yön vektörünün bileşenleridir

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

değeri çizgi üzerindeki her noktaya bağlı olan bir skalerdir (gerçek sayı).

Doğrunun sürekli denklemi

Doğrunun sürekli denkleminin formülü şöyledir:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

Altın:

$x$

Ve

$y$

doğru üzerindeki herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatlarıdır.
$P_1$

Ve

$P_2$

çizginin bir kısmını oluşturan bilinen bir noktanın koordinatlarıdır

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

Ve

$\text{v}_2$

çizginin yön vektörünün bileşenleridir

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

Doğrunun örtülü veya genel denklemi

Evet

$\vv{\text{v}}$

çizginin yön vektörüdür ve

$P$

sağa ait bir nokta:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denkleminin formülü şöyledir:

Altın:

$x$

Ve

$y$

doğru üzerindeki herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatlarıdır.
katsayı
$A$

doğrunun yön vektörünün ikinci bileşenidir:

$A=\text{v}_2}$
katsayı
$B$

yön vektörünün ilk bileşeni değişen işarettir:

$B=-\text{v}_1}$
katsayı
$C$

bilinen nokta değiştirilerek hesaplanır

$P$

çizginin denkleminde.

Formülde, bir doğrunun örtülü denklemi, sürekli denklemin kesirleri çarpılarak da elde edilebilir.

Doğrunun açık denklemi

Doğrunun açık denkleminin formülü şöyledir:

Altın:

$m$

doğrunun eğimidir.
$n$

y-kesme noktası, yani Y ekseniyle kesiştiği yükseklik.

Bu özel durumda, açık denklemi hesaplamanın başka bir yolu da örtülü denklemi kullanmaktır; Bunu yapmak için değişkeni silmeniz yeterlidir

$y$

örtülü denklemin.

Doğrunun nokta-eğim denklemi

Doğrunun nokta-eğim denkleminin formülü aşağıdaki gibidir:

Altın:

$m$

doğrunun eğimidir.
$P_1, P_2$

doğru üzerindeki bir noktanın koordinatlarıdır

$P(P_1,P_2).$

Çizginin kanonik veya segmental denklemi

Doğru denkleminin bu çeşidi daha az bilinmesine rağmen, çizginin kanonik denklemi doğrunun Kartezyen eksenlerle kesiştiği noktalardan elde edilebilir.

Belirli bir doğrunun eksenleriyle kesişen iki nokta şöyle olsun:

X ekseniyle kesin:

$(a,0)$

Y ekseniyle kesin:

$(0,b)$

Doğrunun kanonik denkleminin formülü şöyledir:

Doğrunun tüm denklemlerinin formüllerini az önce gördük ama dilerseniz daha derine inip doğru denklemleri üzerinde alıştırmalar yapabilirsiniz. Ek olarak, bu sayfada tek doğru denklemlerinin daha ayrıntılı bir açıklamasını ve tüm tek doğru denklem türlerinin nasıl hesaplandığına dair örnekleri göreceksiniz.

Bir doğrunun eğiminin anlamı

Yukarıdaki tüm bilgilerle, bir doğrunun denkleminin neye benzediğini ve bir doğruyu tanımlamanın bir yolunun onun eğimi olduğunu zaten tamamen biliyoruz. Ama gerçekte… bir çizginin eğimi ne anlama geliyor?

Bir çizginin eğimi, grafiğin her yatay birimi için çizginin yükseldiği dikey birimleri gösterir.

Örneğin aşağıdaki doğrunun gösteriminde eğimi 2’ye eşit olduğundan her yatay birim için 2 dikey birim ilerlediğini görebilirsiniz.

Ayrıca bir doğrunun eğimi de onun dikliğini gösterir:

Bir doğru artıyorsa (yükseliyorsa) eğimi pozitiftir.
Bir doğru azalıyorsa (alçalıyorsa) eğimi negatiftir.
Bir doğru tamamen yatay ise eğimi 0’a eşittir.
Bir doğru tamamen dik ise eğimi sonsuza eşittir.

Düzlemdeki iki çizginin göreceli konumu

İki boyutla çalışırken (R2’de), iki çizgi arasında 3 tür olası göreli konum vardır:

Kesişen çizgiler

Kesişen iki doğrunun yalnızca bir ortak noktası vardır.

Paralel çizgiler

Ortak noktaları yoksa iki doğru paraleldir. Yani eğer yolları hiç kesişmezse.

çakışan çizgiler

İki doğrunun bütün noktaları ortaksa aynıdır.

Öte yandan düzlemdeki iki çizgi arasındaki açı da onların göreceli konumlarına bağlıdır:

Kesişen çizgiler 0° (dahil değil) ile 90° (dahil) arasında bir açıyla kesişir. Ek olarak, eğer sadece 90 derecelik bir dik açı oluşturuyorlarsa bu, iki çizginin birbirine dik olduğu anlamına gelir.
Paralel doğrular aynı yöne sahip olduklarından 0° açı oluştururlar.
Ve aynı nedenle çakışan çizgiler de aralarında 0°’lik bir açı yapar.

İki çizgi arasındaki açı

İki çizgi arasındaki açıyı hesaplamanın birkaç yöntemi vardır ve bazıları oldukça karmaşıktır, bu nedenle 2 çizgi arasındaki açıyı belirlemenin en basit yolunu açıklayacağız.

Yön vektörlerini kullanarak iki çizgi arasındaki açıyı hesaplama formülü şöyledir:

İki farklı doğrunun yön vektörleri verildiğinde:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

Bu iki çizgi arasındaki açı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

Altın

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

vektörlerin modülleri

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

sırasıyla.

Bir vektörün büyüklüğünün formülünün şöyle olduğunu unutmayın:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

Açıkçası, formülü kullanarak iki çizginin oluşturduğu açının kosinüsünü hesapladıktan sonra, açının değerini bilmek için kosinüsü ters çevirmemiz gerekir.

Çizgi: tanımı, özellikleri, türleri, denklem…

Çizgi nedir?

Hat türleri

Paralel çizgiler

Kesişen çizgiler

çakışan çizgiler

ışın

Doğrunun denklemi

Doğrunun vektör denklemi

Doğrunun parametrik denklemleri

Doğrunun sürekli denklemi

Doğrunun örtülü veya genel denklemi

Doğrunun açık denklemi

Doğrunun nokta-eğim denklemi

Çizginin kanonik veya segmental denklemi

Bir doğrunun eğiminin anlamı

Düzlemdeki iki çizginin göreceli konumu

İki çizgi arasındaki açı

Yorum bırakın Yanıtı iptal et