İki düzlem arasındaki mesafe (formül)

Bu sayfada iki uçak arasındaki mesafeyi nasıl bulacağınızı bulacaksınız. Özellikle mevcut iki yöntemi ve ne zaman birini veya diğerini kullanmanın daha iyi olduğunu göreceksiniz. Ayrıca iki düzlem arasındaki mesafeyi daha iyi anlayabilmeniz için örnekler ve çözümlü alıştırmalarınız var.

İki uçak arasındaki mesafe nasıl hesaplanır?

Uzaydaki iki düzlem arasındaki mesafe, bu iki düzlem arasındaki göreceli konuma bağlıdır:

İki düzlem kesişiyor veya çakışıyorsa , bir noktada kesiştikleri için aralarındaki mesafe sıfırdır.
İki düzlem paralel ise, iki düzlem arasındaki mesafe, her iki düzlemden bir nokta alınarak o noktanın diğer düzleme olan uzaklığı hesaplanarak hesaplanır.

Dik düzlemlerin bir tür kesişen düzlem olduğunu, dolayısıyla iki dik düzlem arasındaki mesafenin de sıfır olduğunu unutmayın.

Dolayısıyla, iki düzlem arasındaki mesafeyi hesaplamak için öncelikle aralarındaki göreceli konumun ne olduğunu belirlemelisiniz ve bu nedenle iki düzlemin göreceli konumunu nasıl bulacağınızı bilmeniz önemlidir. Nasıl yapılacağı konusunda tam olarak emin değilseniz, çok detaylı bir açıklamanın yanı sıra örnekler ve çözümlü alıştırmalar bulabileceğiniz bağlantıya göz atmanızı öneririz.

İki paralel düzlem arasındaki mesafe nasıl hesaplanır

İki paralel düzlem birbirine her zaman aynı uzaklıkta bulunur. Dolayısıyla iki paralel düzlem arasındaki mesafeyi bulmak için iki düzlemden birinde bir nokta alıp o noktanın diğer düzleme olan uzaklığını hesaplayabiliriz.

Yani iki paralel düzlem arasındaki mesafeyi hesaplamak için formül şöyledir:

Düzlemlerden birinde bir nokta ve diğer düzlemin genel (veya örtülü) denklemi verilen iki paralel düzlemi düşünün:

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

Bir düzlemin noktasından geçen iki paralel düzlem arasındaki mesafeyi bulma formülü ve diğer düzlemin genel denklemi şöyledir:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Bu, iki paralel düzlem arasındaki mesafeyi bulmak için kullanılan bir formüldür. Ancak bazen başka, hatta daha basit bir yöntem de kullanabiliriz:

İki planın örtülü (veya genel) denklemlerinin A, B ve C katsayıları orantılı olmalıdır. Peki, bir problemde A, B ve C katsayıları tamamen aynı olan iki düzlem bulursak, herhangi bir düzlemin herhangi bir noktasını bilmemize gerek kalmadan başka bir formül kullanabiliriz:

A, B ve C katsayıları aynı olan iki paralel düzlemin genel (veya örtülü) denklemlerini düşünün:

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

İki düzlemin genel denklemlerinden iki paralel düzlem arasındaki mesafeyi bulma formülü şöyledir:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Sonuçta iki paralel düzlem arasındaki mesafeyi bulmanın iki yolu vardır. İlki, iki düzlemden birindeki bir noktayı bildiğimizde daha kullanışlıdır. Ancak iki düzlemin genel denklemini biliyorsak ikinci formülle mesafeyi hesaplamak daha doğru olur.

İki paralel düzlem arasındaki mesafeyi hesaplama örneği

Örnek olarak aşağıdaki iki düzlem arasındaki mesafeyi hesaplayacağız:

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

Öncelikle iki paralel düzlemle karşı karşıya olduğumuzu doğrulamalıyız. Dolayısıyla, düzlem denklemlerinin tüm katsayıları bağımsız terimler dışında orantılıdır, dolayısıyla bunlar fiilen iki paralel düzlemdir.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Bu durumda iki düzlemin denklemlerinin A, B ve C terimleri çakışmamaktadır ancak bunu ikinci düzlemin denkleminin tamamını ikiye bölerek başarabiliriz:

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

Yani iki düzlemin denklemleri artık aynı A, B ve C katsayılarına sahip. Dolayısıyla iki paralel düzlem arasındaki mesafe için aşağıdaki formülle iki düzlem arasındaki mesafeyi kolayca hesaplayabiliriz:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Değerleri değiştiriyoruz ve işlemleri çözüyoruz:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

Böylece bir düzlem ile diğer düzlem arasındaki mesafe birliğe eşit olur.

İki düzlem arasındaki mesafe problemlerini çözme

1. Egzersiz

Aşağıdaki iki düzlem arasındaki mesafeyi bulun:

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

Çözüme bakın

Öncelikle iki paralel düzlemle karşı karşıya olduğumuzu doğrulamalıyız. İki düzlemin denklemlerinin tüm katsayıları bağımsız terimler dışında orantılıdır, yani bunlar aslında iki paralel düzlemdir.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Bu durumda A, B ve C katsayıları eşit olduğundan iki düzlem arasındaki mesafeyi direkt formülle hesaplayacağız:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Böylece değerleri formülde yerine koyuyoruz ve işlemleri gerçekleştiriyoruz:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki iki düzlem arasındaki mesafeyi hesaplayın:

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

Çözüme bakın

Öncelikle aralarındaki mesafeyi belirlemek için bunların iki paralel düzlem olduğunu doğrulamamız gerekir. Bunu yapmak için iki planın katsayıları arasındaki orantılılığı kontrol ediyoruz:

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

Ancak iki düzlemin A, B ve C katsayıları orantılı değildir, yalnızca A ve B parametreleri orantılıdır. Dolayısıyla iki düzlem paralel değil kesişir ve dolayısıyla aralarındaki mesafe 0’a eşittir:

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki iki paralel düzlem arasındaki mesafeyi bulun:

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

Çözüme bakın

Ön plan düzlemi parametrik denklemler biçiminde tanımlanır; bu nedenle, iki paralel düzlem arasındaki mesafenin doğrudan formülünü uygulamak için önce onu genel bir denklem biçimine dönüştürmemiz gerekir ve bu, çok fazla hesaplama ve zaman gerektirir. Dolayısıyla o düzlem üzerinde bir nokta alıp o noktadan diğer düzleme olan mesafeyi hesaplarsak daha hızlı olur.

Böylece, π ₁ düzlemine ait bir noktanın koordinatları, her parametrik denklemin bağımsız terimlerine karşılık gelir:

$P(3,-2,5)$