Süreksizlik türleri

Eylül 17, 2023

Burada ne tür süreksizliklerin mevcut olduğunu öğreneceksiniz. Ayrıca her türlü süreksizlik örneklerini görebileceksiniz ve fonksiyonlardaki süreksizlik türleri ile ilgili çözümlü alıştırmalar yapabileceksiniz.

Tüm süreksizlik türleri nelerdir?

Üç tür süreksizlik vardır:

Kaçınılabilir süreksizlik : Bir fonksiyonun bir noktadaki yanal sınırları, fonksiyonun değeriyle çakışmaz.
Kaçınılmaz sonlu atlama süreksizliği : Bir fonksiyonun bir noktadaki yanal limitleri farklıdır.
Kaçınılmaz sonsuz atlama süreksizliği : Fonksiyonun yanal limitlerinden biri sonsuzluğu verir veya yoktur.

Kavramları anlamayı tamamlamak için her bir süreksizlik türünü daha ayrıntılı olarak açıklayacağız ve üç tür süreksizliğin olduğu fonksiyon örneklerini göreceğiz.

Önlenebilir süreksizlik

Kaçınılabilir süreksizlik , bir noktada sınır varsa o noktada fonksiyona sahip olan ancak fonksiyonun değeri ile çakışmayan veya fonksiyonun görüntüsü bulunmayan süreksizlik türüdür.

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)$

Bir fonksiyonun önlenebilir süreksizliği

Bu fonksiyonun yanal sınırları birbirine eşittir ancak fonksiyonun o noktadaki değerinden farklıdır. Bu nedenle fonksiyon önlenebilir bir süreksizlik sunar.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c$

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

imajı olmayan bir fonksiyonun önlenebilir süreksizliği

Önceki örnekteki fonksiyon önlenebilir bir süreksizliğe sahiptir çünkü x=a’daki yanal limitler aynı değere sahiptir ancak fonksiyonun bu noktadaki görüntüsü mevcut değildir.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)$

➤ Bakınız: bir fonksiyonun yanal sınırları

Sonlu atlamanın kaçınılmaz süreksizliği

Kaçınılmaz sonlu sıçrama süreksizliği , bir fonksiyonun o noktadaki yanal limitlerinin eşit olmadığı bir noktada ortaya çıkan bir süreksizlik türüdür.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Örneğin, bir sonraki parçalı tanımlanan fonksiyonun tanım değiştirme noktasındaki yanal limitleri farklıdır, dolayısıyla fonksiyon o noktada kaçınılmaz bir sonlu atlama süreksizliğine sahiptir.

sonlu sıçramanın kaçınılmaz süreksizliği

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Bu tür süreksizlik genellikle parçalı (veya parçalı) tanımlanan fonksiyonlarda görülür.

➤ Bakınız: parçalı bir fonksiyonun sürekliliği

Sonsuz sıçrama Kaçınılmaz süreksizlik

Kaçınılmaz sonsuz atlama süreksizliği , o noktadaki yanal sınırlardan birinin sonsuz olduğu ya da bulunmadığı zamanlarda işlev gören bir süreksizlik türüdür.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty$

Aşağıdaki fonksiyonun sol limiti reel sayıyı verirken sağ limiti sonsuzluğu verir. Bu nedenle fonksiyon kaçınılmaz bir sonsuz atlama süreksizliği sunar.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Aşağıda, iki yan limiti sonsuzluk veren ve dolayısıyla kaçınılmaz bir sonsuz sıçrama süreksizliğine sahip olan bir grafik fonksiyonunu görebilirsiniz.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Bu tür süreksizlik genellikle rasyonel (veya kesirli) fonksiyonlarda ortaya çıkar.

Süreksizlik türleri üzerine çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Aşağıdaki parçalı fonksiyonun x=3 noktasındaki süreksizlik tipini belirleyin:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x\leq 3 \\[2ex] 4x - 5 & \text{si} & x > 3 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”232″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Çözümü görün

Fonksiyonun ilk elemanının alanı,

$-2x+1$

ikinci parçadaki gibi,

$4x-5$

, hepsi gerçek sayılardır çünkü bunlar polinom fonksiyonlardır.

Dolayısıyla fonksiyonun süreksiz olabileceği tek nokta parçalı fonksiyonun durma noktasıdır. Bu nedenle bu aşamada yanal sınırları hesaplayacağız:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

x=3’teki iki yanal limit farklı sonuçlar verir. Dolayısıyla x=3 noktası kaçınılmaz bir sonlu sıçrama süreksizliğidir.

Alıştırma 2

Aşağıdaki rasyonel fonksiyonun kendi tanım kümesine ait olmayan noktalarda ne tür bir süreksizlik sunduğunu bulun:

$f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}$

Çözümü görün

Mantıksal olarak bu alıştırmayı çözmek için önce fonksiyonun tanım kümesini bulmanız gerekir. Bu rasyonel bir fonksiyon olduğu için paydayı 0’a eşitliyoruz ve ortaya çıkan denklemi çözüyoruz:

$x+2=0$

$x=-2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

Dolayısıyla fonksiyon x=-2 dışındaki tüm noktalarda sürekli olacaktır, dolayısıyla x=-2 noktasının ne tür bir süreksizlik olduğuna bakalım. Bunu yapmak için fonksiyonun şu noktadaki limitini hesaplıyoruz:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2} = \cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{0}{0}$

Ancak sıfır arasında sıfır belirsizlik elde ederiz, dolayısıyla pay ve paydanın polinomlarını çarpanlara ayırır ve basitleştiririz:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to -2} \cfrac{ (x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} =\lim_{x \to -2} (x-2)$

Şimdi limiti çözüyoruz:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} (x-2) =-2-2=-4$

Sonuç olarak fonksiyonun x=-2 noktasındaki limiti vardır ve -4 değerini verir. Şimdi var olup olmadığını kontrol edelim

$f(-2):$

$f(-2)=\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{4-4}{0} = \cfrac{0}{0} \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \ f(2)$

Bir fonksiyonun görüntüsünün hesaplanmasında 0/0 belirsizliği basitleştirilemez ve çözümü yoktur. BU YÜZDEN

$f(-2)$

bulunmuyor.

Sonuç olarak, fonksiyonun x=-2 noktasındaki limiti mevcuttur, ancak

$f(-2)$

Hayır. Dolayısıyla x=-2 kaçınılabilir bir süreksizliktir.

Alıştırma 3

Aşağıdaki rasyonel fonksiyonun sürekliliğini analiz edin:

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

Çözümü görün

Sürekli bir fonksiyon olup olmadığını anlamak için önce tanım kümesini hesaplamamız gerekir. Bu nedenle hangi noktaların tanım kümesine ait olmadığını görmek için rasyonel fonksiyonun paydasını sıfıra eşitliyoruz:

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

Dolayısıyla fonksiyon x=5 dışındaki tüm noktalarda sürekli olacaktır. Şimdi bu noktadaki limiti hesaplayarak x=5’in ne tür bir süreksizlik olduğunu görelim:

$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{2}{x-5} = \frac{2}{5-5} = \frac{2}{0} = \infty$

Kendimizi 0’a bölünen bir sayının belirsizliğiyle karşı karşıya buluyoruz. Dolayısıyla fonksiyonun x=5 noktasındaki yanal limitlerini hesaplıyoruz:

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{-}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{4,999-5}=\frac{2}{-0}= \bm{-\infty}$

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{+}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{5,001-5}=\frac{2}{+0}=\bm{+\infty}$

Fonksiyonun x=5 noktasındaki sol limiti eksi sonsuzluğu, sağ limiti ise artı sonsuzu verir. Bu nedenle, bu noktada en az bir yanal limit sonsuza yöneldiğinden, fonksiyonun x = 5’te kaçınılmaz bir sonsuz atlama süreksizliği vardır.

Alıştırma 4

Aşağıdaki grafikte gösterilen parçalı fonksiyonun tüm süreksizliklerini belirleyin:

egzersiz fonksiyonlardaki süreksizlikleri çözdü

Çözümü görün

Fonksiyonu çizmek için kalemi x=-2, x=1 ve x=4 noktalarına kaldırmalısınız. Dolayısıyla fonksiyon bu üç noktada süreksizdir.

x=-2’de sol taraftaki limit +∞ ve sağdaki limit 3’tür. Yani, yan limitlerden biri sonsuz olduğundan, fonksiyonun x=-2 noktasında kaçınılmaz bir sonsuz atlama süreksizliği vardır.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

Fonksiyonun x=1 noktasındaki limiti 0’dır ve diğer taraftan fonksiyonun x=1 noktasındaki değeri 2’ye eşittir. Bu nedenle fonksiyon, x=1 noktasında kaçınılabilir bir süreksizlik sunar.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(1) = 2$

x = 4’te sol taraftaki limit -3 ve sağ taraftaki limit 1’dir. Dolayısıyla iki kenar limiti farklı olduğundan ve ikisi de sonsuzluğu vermediğinden, fonksiyonun x =4 noktasında kaçınılmaz olarak sonlu atlama süreksizliği vardır.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

Alıştırma 5

Aşağıdaki grafikte temsil edilen fonksiyonun tüm asimptotlarını ve süreksizliklerini bulun:

Bir fonksiyonun süreksizlik türleri üzerine çözülmüş alıştırma

Çözümü görün

Asimptotlar

Fonksiyon x=3 dikey çizgisine çok yakındır ancak ona asla dokunmaz. Ayrıca x=3’te sol yan limit +∞, sağ yan limit ise -∞’dur. Bu nedenle x=3 dikey bir asimptottur.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Aynı şey y=-1 yatay doğrusu için de olur, fonksiyon y=-1’e çok yaklaşır ama asla onu geçmez. Ek olarak, x +∞ ve -∞’a yaklaşırken fonksiyonun limiti -1’dir. Bu nedenle y=-1 yatay bir asimptottur.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-1 \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$

Süreksizlikler

X=6’da açık bir nokta olduğundan fonksiyon kesintiye uğrar. X 6’ya yaklaşırken limit -1,4’tür ancak f(6)=1’dir. Bu nedenle fonksiyon x=6’da önlenebilir bir süreksizliğe sahiptir çünkü limitin değeri fonksiyonun değeriyle çakışmaz:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

x=-3’te yanal sınırlar çakışmaz ve hiçbiri sonsuzluğu vermez. Dolayısıyla fonksiyon x=-3’te kaçınılmaz bir sonlu atlama süreksizliğine sahiptir.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

Ve son olarak, bu noktada en az bir yanal limit sonsuzluğa yol açtığından, fonksiyonun x = 3’te kaçınılmaz bir sonsuz atlama süreksizliği vardır.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Tüm süreksizlik türleri nelerdir?

Önlenebilir süreksizlik

Sonlu atlamanın kaçınılmaz süreksizliği

Sonsuz sıçrama Kaçınılmaz süreksizlik

Süreksizlik türleri üzerine çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Alıştırma 4

Alıştırma 5

Yorum bırakın Yanıtı iptal et