İki paralel çizgi arasındaki mesafe

Bu sayfada iki paralel çizgi arasındaki mesafenin nasıl belirleneceğini bulacaksınız. Ayrıca paralel doğrular arasındaki mesafelerle ilgili örnekleri görebilecek ve çözümlü alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz.

İki paralel çizgi nedir?

İki paralel çizgi arasındaki mesafenin nasıl hesaplandığını görmeden önce iki doğru arasındaki paralellik kavramını çok kısaca hatırlayalım:

Paralel çizgiler hiçbir zaman kesişmeyen, yani yörüngeleri sonsuza kadar uzansa bile birbirlerine asla değmeyen çizgilerdir. Bu nedenle iki paralel doğrunun noktaları birbirine her zaman aynı uzaklıkta olur ve üstelik iki paralel doğrunun hiçbir ortak noktası yoktur.

Örneğin aşağıdaki iki çizgi paraleldir:

Genellikle iki doğrunun 2 dikey çubukla paralel olduğunu belirtiriz || Çizgilerin arasında

Öte yandan iki paralel doğru hiçbir zaman kesişmese de analitik geometride yönleri aynı olduğundan 0° açı oluşturduğunu söyleriz.

Düzlemdeki iki paralel çizgi arasındaki mesafe nasıl hesaplanır

Düzlemdeki (R2’deki) iki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulmak için, iki çizgiden birinin üzerinde bir nokta alın ve bu noktadan diğer doğruya olan mesafeyi hesaplamanız yeterlidir.

Bunu bu şekilde yapabiliriz çünkü iki paralel çizgi birbirinden her zaman aynı uzaklıkta olur.

Yani iki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulmak için bir nokta ile bir çizgi arasındaki mesafenin formülünü bilmeniz gerekir. Nasıl olduğunu hatırlamıyorsanız bağlantıda bir nokta ile çizgi arasındaki mesafenin nasıl belirlendiğini inceleyebilir, ayrıca adım adım çözülmüş örnekleri ve alıştırmaları görebileceksiniz.

Öte yandan formülü kullanırken 0 birimlik bir mesafe elde edersek bu, çizgilerin bir noktada birbirine değdiği ve dolayısıyla çizgilerin paralel olmadığı, kesiştiği, çakıştığı veya dik olduğu anlamına gelir. İsterseniz bu tip hatlar arasındaki farkları sitemizden inceleyebilirsiniz.

İki paralel çizgi arasındaki mesafenin nasıl bulunacağına dair örnek

Şimdi bir örnek kullanarak iki paralel doğru arasındaki mesafe problemini nasıl çözeceğimizi görelim:

Aşağıdaki iki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulun:

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

Yapmamız gereken ilk şey çizgilerden birinde (istediğiniz çizgide) bir nokta almak. Bu durumda doğru üzerinde bir nokta hesaplayacağız.

$s.$

Bunu yapmak için değişkenlerden birine değer vermeliyiz, örneğin yapacağız

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

Ve şimdi diğer değişkeni temizliyoruz (

$y$

) Bu noktada değerinin ne kadar olduğunu bilmek için elde edilen denklemin:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Bu nedenle doğrudan elde edilen nokta

$s$

Doğu:

$P(0,-2)$

Ve bir çizgi üzerinde zaten bir noktamız olduğunda, bir noktadan bir çizgiye olan mesafe formülünü kullanarak o noktadan diğer çizgiye olan mesafeyi hesaplarız:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

Dolayısıyla iki paralel çizgi arasındaki mesafe 0,45 birime eşittir .

İki paralel doğru arasındaki mesafe problemlerini çözme

1. Egzersiz

Aşağıdaki iki paralel çizgi arasındaki mesafe nedir?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

Çözüme bakın

Öncelikle bunların iki paralel çizgi olduğunu doğrulayacağız. Bunun için değişkenlerin katsayıları

$x$

$y$

birbirleriyle orantılı olmalı ancak bağımsız terimlerle orantılı olmamalıdır:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Aslında çizgiler paraleldir, dolayısıyla prosedürü uygulayabiliriz.

Şimdi doğrulardan birinden (istediğiniz noktadan) bir nokta almamız gerekiyor. Bu durumda doğru üzerinde bir nokta hesaplayacağız.

$s.$

Bunu yapmak için değişkenlerden birine bir değer atamalısınız, örneğin şunu yapacağız:

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

Ve şimdi diğer değişkeni temizliyoruz (

$y$

) bu noktadaki değerini bilmek için elde edilen denklemin:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

Böylece çizgiden elde edilen nokta

$s$

Doğu:

$P(0,-1)$

Bir doğru üzerindeki bir noktayı bildiğimizde, o noktadan diğer doğruya olan mesafeyi aşağıdaki formülle hesaplarız:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki iki paralel çizgi arasındaki mesafeyi hesaplayın:

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

Çözüme bakın

Öncelikle bunların iki paralel çizgi olduğunu doğrulayacağız. Bunun için değişkenlerin katsayıları

$x$

$y$

birbirleriyle orantılı olmalı ancak bağımsız terimlerle orantılı olmamalıdır:

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

Aslında çizgiler paraleldir, dolayısıyla prosedürü uygulayabiliriz.

Şimdi doğrulardan birinden (istediğiniz noktadan) bir nokta almamız gerekiyor. Bu durumda doğru üzerinde bir nokta hesaplayacağız.

$s.$

Bunu yapmak için değişkenlerden birine bir değer vermelisiniz, örneğin şunu yapacağız:

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

Ve şimdi diğer değişkeni temizliyoruz (

$y$

) bu noktadaki değerini bulmak için ortaya çıkan denklemin:

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

Böylece çizgiden elde edilen nokta

$s$

Doğu:

$P(0,1)$

Bir doğru üzerindeki bir noktayı bildiğimizde, o noktadan diğer doğruya olan mesafeyi aşağıdaki formülle hesaplarız:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

Alıştırma 3

Bilinmeyenlerin değerini hesaplayın

$k$

yani sonraki iki çizgi arasındaki mesafe 5 birimdir.

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

Çözüme bakın

İki boyutlu çalıştığımız için iki çizgi arasındaki mesafenin sıfır olmaması için paralel olmaları gerekir. Dolayısıyla bir nokta ile bir çizgi arasındaki mesafe formülü ile iki çizgi arasındaki mesafeyi hesaplamaya çalışarak denklemi kuracağız ve bu denklemden değerini elde edeceğiz.

$k.$

Bunu yapmak için doğru üzerinde bir nokta hesaplamamız gerekir.

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

Yani çizgi üzerinde bir nokta

$r$

Doğu:

$P(1,2)$

Şimdi doğruya ait olan nokta arasındaki mesafeyi hesaplamaya çalışıyoruz.

$r$

(nokta

$P$

) ve çizgi

$s$

formülle:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Her terimi değeriyle değiştiriyoruz ve ifadeyi basitleştiriyoruz:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$

Problem ifadesi bize iki çizgi arasındaki mesafenin 5’e eşit olması gerektiğini söylüyor, bu nedenle önceki ifadeyi 5’e eşitliyoruz:

$\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5$

Ve ortaya çıkan denklemi çözüyoruz. Kesrin payının mutlak bir değeri vardır, bu nedenle mutlak değerin pozitif ve negatif olduğunu ayrı ayrı analiz etmeliyiz:

$\cfrac{+(5+k)}{5}=5$