Uzayda iki düzlem arasındaki açı (formül)

Bu sayfada uzaydaki iki düzlemin oluşturduğu açının nasıl hesaplanacağını bulacaksınız (formül). Ayrıca örnekleri görebilecek ve çözümlü alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz.

İki düzlem arasındaki açı formülü

İki düzlem arasındaki açı, söz konusu düzlemlerin normal vektörlerinin oluşturduğu açıya eşittir. Bu nedenle iki düzlem arasındaki açıyı bulmak için normal vektörlerinin oluşturduğu açı hesaplanır, çünkü bunlar eşdeğerdir.

Dolayısıyla, iki düzlem arasındaki açının tam olarak ne olduğunu öğrendikten sonra, uzaydaki (R3’te) iki düzlem arasındaki açıyı hesaplamak için iki vektör arasındaki açı formülünden çıkarılan formüle bakalım:

İki farklı düzlemin genel (veya örtülü) denklemi göz önüne alındığında:

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

Her düzlemin normal vektörü:

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

Ve bu iki düzlemin oluşturduğu açı, normal vektörlerinin oluşturduğu açı aşağıdaki formülle hesaplanarak belirlenir:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Bu nedenle, iki düzlem arasındaki açıyı belirlemek için iki vektörün iç çarpımının hesaplanmasında ustalaşmanız gerekir. Nasıl yapıldığını hatırlamıyorsanız bağlantıda iki vektör arasındaki nokta çarpımı çözme adımlarını bulacaksınız. Ayrıca adım adım çözülen örnekleri ve alıştırmaları görebileceksiniz.

Öte yandan iki düzlem dik veya paralel olduğunda formülün uygulanmasına gerek yoktur çünkü 2 düzlem arasındaki açı doğrudan belirlenebilir:

İki paralel düzlem arasındaki açı 0°’dir çünkü normal vektörleri aynı yöne sahiptir.
İki dik düzlem arasındaki açı 90°’dir, çünkü bunların normal vektörleri de birbirine diktir (veya diktir) ve bu nedenle bir dik açı oluşturur.

İki düzlem arasındaki açıyı hesaplama örneği

İşte iki farklı düzlem arasındaki açının nasıl belirleneceğini görebilmeniz için somut bir örnek:

Aşağıdaki iki düzlem arasındaki açıyı hesaplayın:

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

Yapmamız gereken ilk şey her düzlemin normal vektörünü bulmaktır. Böylece, bir düzleme dik olan vektörün X, Y, Z koordinatları, genel (veya örtülü) denkleminin sırasıyla A, B ve C katsayılarıyla çakışır:

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

Her düzlemin normal vektörünü bildiğimizde, oluşturdukları açıyı aşağıdaki formülle hesaplarız:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Bu nedenle her normal vektörün büyüklüğünü bulmalıyız:

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

Şimdi her bilinmeyenin değerini formülde yerine koyuyoruz:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

İki vektörün nokta çarpımını çözerek açının kosinüsünü hesaplıyoruz:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

Ve son olarak hesap makinesini kullanarak kosinüsün tersini yaparak açıyı belirliyoruz:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

İki düzlem arasındaki açıyla ilgili çözülmüş problemler

1. Egzersiz

Aşağıdaki iki düzlem arasındaki açıyı bulun:

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

çözümü gör

Yapmamız gereken ilk şey her düzlemin normal vektörünü bulmaktır. Dolayısıyla, bir düzleme dik olan vektörün X, Y, Z koordinatları, genel (veya örtülü) denkleminin sırasıyla A, B ve C katsayılarına eşdeğerdir:

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

Her düzlemin normal vektörünü öğrendikten sonra oluşturdukları açıyı aşağıdaki formülle hesaplarız:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Bu nedenle her normal vektörün büyüklüğünü bulmalıyız:

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

Her bilinmeyenin değerini formülde yerine koyarız:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

Açının kosinüsünü hesaplıyoruz:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

Ve son olarak, hesap makinesiyle kosinüsü ters çevirerek iki düzlem arasındaki açıyı buluyoruz:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki iki düzlem arasındaki açı nedir?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

çözümü gör

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

Her düzlemin normal vektörünü öğrendikten sonra oluşturdukları açıyı aşağıdaki formülle hesaplarız:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Bu nedenle her normal vektörün büyüklüğünü bulmalıyız:

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

Her değişkenin değerini formülde değiştiririz:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

Açının kosinüsünü hesaplıyoruz:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$