Doğrunun sürekli denklemi

Bu sayfada bir doğrunun sürekli denklemiyle ilgili her şeyi bulacaksınız: ne anlama geldiğini, noktasından ve vektöründen nasıl hesaplandığını ve sadece iki noktayla nasıl belirlendiğini. Ayrıca çeşitli örnekleri görebileceksiniz ve hatta adım adım çözülen alıştırmalar ve problemlerle pratik bile yapabilirsiniz.

Doğrunun sürekli denklemi nedir?

Bir çizginin matematiksel tanımının, eğriler veya açılar olmadan aynı yönde temsil edilen ardışık noktalar kümesi olduğunu unutmayın.

Dolayısıyla sürekli çizgi denklemi herhangi bir doğruyu matematiksel olarak ifade etmenin bir yoludur. Bunun için de doğruya ait bir noktayı ve doğrunun yön vektörünü bilmek yeterlidir.

Doğrunun sürekli denklemi nasıl hesaplanır?

Evet

$\vv{\text{v}}$

çizginin yön vektörüdür ve

$P$

sağa ait bir nokta:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Doğrunun sürekli denkleminin formülü şöyledir:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Altın:

$x$

Ve

$y$

doğru üzerindeki herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatlarıdır.
$P_1$

Ve

$P_2$

doğrunun parçası olan bilinen bir noktanın koordinatlarıdır.
$\text{v}_1$

Ve

$\text{v}_2$

doğrunun yön vektörünün bileşenleridir.

Bu formül, düzlemdeki çizginin sürekli denklemi içindir, yani 2 koordinatlı noktalar ve vektörlerle (R2’de) çalışırken. Ancak uzayda (R3’te) hesaplamalar yapıyor olsaydık, doğrunun denklemine ek bir bileşen eklememiz gerekirdi:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

Öte yandan, sürekli denklemin dışında, bir doğruyu analitik olarak ifade etmenin başka yollarının da olduğunu unutmayın: vektör denklemi, parametrik denklemler, örtülü (veya genel) denklem, açık denklem ve nokta-eğim denklemi. Aline. Web sitemizden ne olduğunu kontrol edebilirsiniz.

Aslında bir doğrunun sürekli denklemi onun parametrik denklemlerinden elde edilebilir. Satırdaki parametrik denklemlerin formülüne bakın:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Ayarı temizlersek

$t$

elde ettiğimiz her parametrik denklemden:

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

Ortaya çıkan iki denklemi eşitleyerek çizginin sürekli denklemini elde ederiz:

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Doğrunun sürekli denkleminin nasıl bulunacağına dair örnek

Bir örnek kullanarak doğrunun sürekli denkleminin nasıl belirlendiğini görelim:

noktasından geçen doğrunun sürekli denklemini yazınız.
$P$

ve sahip

$\vv{\text{v}}$

yol gösterici bir vektör olarak:

$\vv{\text{v}}= (4,-2) \qquad P(-1,3)$

Doğrunun sürekli denklemini bulmak için formülü uygulamanız yeterlidir:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

$\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

İki noktadan doğrunun sürekli denklemi nasıl bulunur?

Sürekli denklemle ilgili ortak sorun, bize doğruya ait 2 nokta vermeleri ve onlardan sürekli denklemi hesaplamamız gerekmesidir. Bir örnekle sorunun nasıl çözüldüğünü görelim:

Aşağıdaki iki noktadan geçen doğrunun sürekli denklemini bulun:

$A(1,5) \qquad B(3,-4)$

Yukarıdaki bölümlerde gördüğümüz gibi bir doğrunun sürekli denklemini hesaplamak için onun yön vektörünü ve üzerindeki bir noktayı bilmemiz gerekir. Sağda zaten bir noktamız var ama onun yön vektörünü kaçırıyoruz. Bu nedenle önce doğrunun yön vektörünü, sonra da sürekli denklemi hesaplamamız gerekir .

Doğrunun yön vektörünü belirlemek için ifadede verilen iki noktanın tanımladığı vektörü hesaplamanız yeterlidir:

$\vv{AB} = B - A = (3,-4) - (1,5) = (2,-9)$

Doğrunun yön vektörünü zaten bildiğimizde, doğrunun sürekli denklemini bulmak için sadece formülü uygulamamız yeterlidir:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{-9}$

Bu durumda doğrunun sürekli denklemini tanımlamak için A noktasını aldık ama bunu bize ifadede verdikleri diğer noktayla yazmak da doğrudur:

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y+4}{-9}$

Çizginin sürekli denkleminin çözülmüş problemleri

1. Egzersiz

Yön vektörü olan doğrunun sürekli denklemini bulun.

$\vv{\text{v}}$

ve noktadan geçer

$P:$

$\vv{\text{v}}= (5,-4) \qquad P(2,-1)$

Çözüme bakın

Doğrunun sürekli denklemini bulmak için formülü uygulamanız yeterlidir:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y-(-1)}{-4}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y+1}{-4}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki doğru üzerinde yön vektörünü ve bir noktayı belirleyin:

$\cfrac{x-1}{6}=\cfrac{y+4}{-5}$

Çözüme bakın

İfadedeki çizgi, formülü şu şekilde olan sürekli bir denklem biçiminde ifade edilir:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

Böylece doğrunun yön vektörünün bileşenleri kesirlerin paydalarına karşılık gelir:

$\vv{\text{v}} = (6,-5)$

Ve doğru üzerindeki bir noktanın Kartezyen koordinatları, payların işaretleri değiştirilmiş sayılarıdır:

$P(1,-4)$

Alıştırma 3

Aşağıdaki iki noktadan geçen doğrunun sürekli denklemini bulun:

$A(2,-2) \qquad B(8,3)$

Çözüme bakın

Bir doğrunun sürekli denklemini hesaplamak için onun yön vektörünü ve noktalarından birini bilmemiz gerekir. Bu durumda, doğru üzerinde zaten bir noktamız var ama onun yön vektörünü kaçırıyoruz. Bu nedenle önce doğrunun yön vektörünü, sonra da devam eden denklemi hesaplamamız gerekir.

Doğrunun yön vektörünü bulmak için ifadede verilen iki noktanın tanımladığı vektörü hesaplamanız yeterlidir:

$\vv{AB} = B - A = (8,3) - (2,-2) = (6,5)$

Doğrunun yön vektörünü zaten bildiğimizde, onun sürekli denklemini bulmak için basitçe aşağıdaki formülü uygularız:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y+2}{5}$

Bu durumda sürekli denklemi tanımlamak için A noktasını seçtik, ancak bunu bize ifadede verdikleri diğer noktayla yazmak da geçerlidir:

$\cfrac{x-8}{6}=\cfrac{y-3}{5}$

Alıştırma 4

Aşağıdaki nokta göz önüne alındığında:

$P(0,3)$

Aşağıdaki sürekli denklemle tanımlanan doğruya ait olup olmadığını belirleyin:

$\cfrac{x+2}{2}=\cfrac{y-3}{-4}$

Çözüme bakın

Noktanın doğruya ait olup olmadığını kontrol etmek için noktanın koordinatlarını doğrunun denkleminde yerine koymanız gerekir. Nokta denklemi sağlıyorsa aslında doğruya ait olduğu, denklem sağlanmıyorsa noktanın doğruya ait olmadığı anlamına gelir.

Bu nedenle, noktanın koordinatlarını verilen doğrunun denkleminde yerine koyarız:

$\cfrac{0+2}{2}=\cfrac{3-3}{-4}$