Doğrunun vektör denklemi

Bu sayfada doğrunun vektör denkleminin nasıl hesaplanacağını bulacaksınız. Ayrıca çeşitli örnekleri görebilecek ve çözümlü alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz. Ayrıca bir doğrunun noktalarının vektör denkleminden nasıl elde edildiğini de keşfedeceksiniz.

Doğrunun vektör denklemi nedir?

Bir çizginin matematiksel tanımının, eğriler veya açılar olmadan aynı yönde temsil edilen ardışık noktalar kümesi olduğunu unutmayın.

Yani çizgi vektör denklemi herhangi bir çizgiyi matematiksel olarak ifade etmenin bir yoludur. Bunun için de doğruya ait bir nokta ve doğrunun yön vektörü yeterlidir.

Doğrunun vektör denklemi nasıl hesaplanır?

Evet

\vv{\text{v}}

çizginin yön vektörüdür ve

P

sağa ait bir nokta:

\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)

Doğrunun vektör denkleminin formülü şöyledir:

(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)

Altın:

  • x

    Ve

    y

    doğru üzerindeki herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatlarıdır.

  • P_1

    Ve

    P_2

    doğrunun parçası olan bilinen bir noktanın koordinatlarıdır.

  • \text{v}_1

    Ve

    \text{v}_2

    doğrunun yön vektörünün bileşenleridir.

  • t

    değeri çizgi üzerindeki her noktaya bağlı olan bir skalerdir (gerçek sayı).

4. doğrunun vektör denklemi

Düzlemdeki doğrunun vektör denklemidir, yani 2 koordinatlı (R2’deki) noktalar ve vektörlerle çalışırken. Ancak uzayda (R3’te) hesaplama yapıyor olsaydık, doğrunun denklemine ek bir bileşen eklemek zorunda kalırdık:

(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)

Öte yandan, vektör denkleminin yanı sıra bir doğruyu analitik olarak ifade etmenin başka yollarının da olduğunu unutmayın: parametrik denklemler, sürekli denklem, örtülü (veya genel) denklem, açık denklem ve bir doğrunun nokta-eğim denklemi . Bu bağlantıdaki satırda tüm denklem türlerini görebilirsiniz.

Doğrunun vektör denkleminin nasıl bulunacağına dair örnek

Bir örnek kullanarak doğrunun vektör denkleminin nasıl belirlendiğini görelim:

  • noktadan geçen doğrunun vektör denklemini yazınız.

    P

    ve sahip

    \vv{\text{v}}

    yol gösterici bir vektör olarak:

\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)

Doğrunun vektör denklemini bulmak için formülü uygulamanız yeterlidir:

(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)

(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)

Doğrunun vektör denkleminden puan alma

Doğrunun vektör denklemini bulduktan sonra çizginin geçtiği noktaları hesaplamak çok kolaydır. Bir doğru üzerinde bir nokta belirlemek için parametreye bir değer vermeniz yeterlidir.

\bm{t}

doğrunun vektör denklemi.

Örneğin, doğrunun aşağıdaki vektör denklemi verildiğinde:

(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)

Değiştirilerek bir puan kazanılır

t

örneğin herhangi bir sayıya göre

t=1:

\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}

Ve bilinmeyeni veren doğru üzerindeki başka bir noktayı hesaplayabiliriz.

t

örneğin farklı bir numara

t=2:

\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}

Dolayısıyla doğru üzerinde sonsuz sayıda nokta elde edebiliriz çünkü değişken

t

sonsuz değer alabilir.

Doğrunun vektör denkleminin çözülmüş problemleri

1. Egzersiz

Noktadan geçen doğrunun vektör denklemini bulun

P

ve kimin yön vektörü

\vv{\text{v}}:

P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)

Doğrunun vektör denklemini hesaplamak için formülü uygulamanız yeterlidir:

(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)

(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)

Alıştırma 2

Önceki problemin doğru üzerinde olan üç noktayı hesaplayın.

Vektör denklemi ile tanımlanan bir doğrudan puan elde etmek için parametreye değer verilmesi gerekir.

t.

Önceki problemde hesaplanan vektör denklemi şöyledir:

(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)

Bir noktayı hesaplamak için bilinmeyeni değiştiririz

t

örneğin tarafından

t=1:

\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}

Verdiğimiz ikinci noktayı bulmak için

t

örneğin değeri

t=2:

\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}

Ve son olarak üçüncü noktayı atayarak elde ediyoruz.

t

değeri

t=3:

\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}

Parametreye verdiğiniz değerlere bağlı olduğundan farklı puanlar almış olabilirsiniz.

t.

Ancak aynı prosedürü izlediyseniz her şey yolundadır.

Alıştırma 3

Veya iki nokta:

A(5,1) \qquad B(3,-2)

Bu iki noktadan geçen doğrunun vektör denklemini bulunuz.

Bu durumda doğrunun yön vektörü elimizde olmadığından önce yön vektörünü, sonra da doğrunun denklemini bulmamız gerekir.

Dolayısıyla doğrunun yön vektörünü bulmak için verilen iki nokta tarafından tanımlanan vektörü hesaplamamız gerekir:

\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)

Doğrunun yön vektörünü zaten bildiğimizde, verilen noktalardan birinden ve formülden vektör denklemini belirleyebiliriz:

(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)

(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)

Verilen diğer noktanın formüle konulmasıyla bulunan denklem de geçerlidir:

(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)

Yorum bırakın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Scroll to Top