İki vektörün nokta çarpımını hesaplayın -

Bu sayfada bunun ne olduğunu ve iki vektörün nokta çarpımının nasıl hesaplanacağını göreceksiniz. Ayrıca nokta çarpımı kullanarak iki vektör arasındaki açıyı nasıl bulacağınızı ve buna ek olarak nokta çarpımın tüm özelliklerini de öğreneceksiniz. Son olarak adım adım çözülen örnekler ve alıştırmalar ile pratik yapabileceksiniz.

İki vektör arasındaki nokta çarpım nasıl hesaplanır

Matematikte nokta çarpım, iki vektörü çarparak bunları gerçek sayıya dönüştüren bir vektör işlemidir. Yani iki vektörün nokta çarpımını hesaplamanın iki yolu vardır:

İki vektörün koordinatlarını biliyorsak, X ve Y bileşenlerini çarpıp sonuçları toplayarak bunların nokta çarpımını bulabiliriz. Başka bir deyişle, eğer iki vektörümüz varsa:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

Aralarındaki skaler çarpım:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

Örneğin, aşağıdaki iki vektör arasındaki nokta çarpım şöyledir:

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

İki vektör arasındaki nokta çarpımı bulmanın bir yoludur. Ancak başka bir yöntem daha var:

Öte yandan, iki vektör arasındaki modülü ve açıyı biliyorsak, iki vektör arasındaki skaler çarpım, modüllerinin çarpımı oluşturdukları açının kosinüsüyle hesaplanarak belirlenebilir:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Altın

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

vektörlerin modülleri

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

sırasıyla ve

$\alpha$

yaptıkları açı.

Bir vektörün büyüklüğünün, bileşenlerinin karelerinin kökü olduğunu hatırlayın:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

Örnek olarak, modülleri ve aralarındaki açı şu şekilde olan iki vektörün skaler çarpımını çözeceğiz:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

Öte yandan nokta çarpıma nokta çarpım, skaler çarpım veya nokta çarpım da denir.

Not: Nokta çarpımı çapraz çarpımla karıştırmayın çünkü benzer adlara sahip olmalarına rağmen tamamen farklı kavramlardır.

Nokta çarpımını kullanarak iki vektör arasındaki açıyı bulun

Nokta çarpımın tanımını gördüğümüzde, iki vektörü çarpmanın amacının ne olduğunu merak ediyor olabilirsiniz? Nokta çarpımın uygulamalarından biri de iki vektörün oluşturduğu açıyı hesaplamaktır.

Nokta çarpım formülünün kosinüsünü çözerek şunu elde ederiz:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

Bunun nasıl yapıldığını bir örnek üzerinden görelim:

Aşağıdaki iki vektör arasındaki açıyı bulun:

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

İlk önce iki vektörün büyüklüğünü bulmamız gerekiyor:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Şimdi iki vektör arasındaki açının kosinüsünü hesaplamak için formülü kullanıyoruz:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

Son olarak hesap makinesini kullanarak kosinüsün tersini yaparak karşılık gelen açıyı buluyoruz:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

Dolayısıyla vektörler 74,93° açı oluşturur.

İki vektörün nokta çarpımının özellikleri

Nokta çarpımı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Değişme özelliği : Vektörlerin çarpılma sırası önemli değildir.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

Dağılma özelliği : Nokta çarpımı, vektörlerin toplanmasına ve çıkarılmasına göre dağılır:

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

İlişkisel özellik : Sonuçlar eşdeğer olduğundan nokta çarpımı işlemi gerçekleştirmeden önce veya sonra bir sabitle çarpabiliriz:

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

Eğer iki vektör dik (veya dik) ise bunların iç çarpımı sıfırdır. Bu özellik kolayca gösterilebilir çünkü birbirine dik iki vektör 90°’lik bir açı yapar ve 90°’nin kosinüsü 0’a eşittir:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

Aksine, eğer iki vektör paralelse , bunların skaler çarpımı modüllerinin çarpımıyla aynıdır. Bu özellik aynı yöndeki iki vektörün kosinüsü 1’e eşit olan 0°’lik bir açı oluşturması nedeniyle kolayca doğrulanabilir:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

Son olarak, bir vektörün nokta çarpımı tek başına büyüklüğünün karesine eşdeğerdir:

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

İki vektör arasındaki skaler çarpım problemlerini çözdük

1. Egzersiz

Aşağıdaki iki vektörün düzlemindeki nokta çarpımı hesaplayın:

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

Çözüme bakın

İki vektörün nokta çarpımını hesaplamak için bunların X koordinatları ile Y koordinatlarını çarpmamız ve ardından sonuçları toplamamız gerekir:

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

Alıştırma 2

Modülleri ve oluşturdukları açıları aşağıdaki olan iki vektörün skaler çarpımını belirleyin:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

Çözüme bakın

Modüllerini ve aralarındaki açıyı bildiğimiz için nokta çarpım formülünü doğrudan uygulayabiliriz:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki iki vektör arasındaki açı nedir?

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

Çözüme bakın

Öncelikle iki vektörün büyüklüğünü hesaplamamız gerekiyor:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

Vektörlerin oluşturduğu açının kosinüsünü hesaplamak için formülü kullanırız:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

Ve son olarak hesap makinesiyle kosinüsün tersini yaparak karşılık gelen açıyı buluyoruz:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

Alıştırma 4

Aşağıdaki iki vektörü göz önünde bulundurun:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

Aşağıdaki işlemi hesaplayın:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

Çözüme bakın

Öncelikle parantez içindeki nokta çarpımı bulmamız, ardından parantez dışındaki nokta çarpımla çarpma işlemini yapmamız gerekiyor:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

Alıştırma 5

Aşağıdaki üç iki boyutlu vektör göz önüne alındığında:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

Aşağıdaki işlemi hesaplayın:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

Çözüme bakın

İlk önce vektörleri parantez içindeki skalerlerle çarpıyoruz:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

Şimdi vektör çıkarma işlemini yapıyoruz:

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

Ve son olarak skaler çarpımı çözüyoruz:

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

Alıştırma 6

Değerini hesapla

$k$

aşağıdaki vektörler dik olacak şekilde:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

Çözüme bakın

İki dik vektör 90°’lik bir açı oluşturur. Cos(90°)=0 olduğundan açının kosinüsü sıfır olmalıdır. Henüz:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Kesrin paydası denklemin sağ tarafının tamamını böldüğü için diğer tarafta çarparak geçebiliriz:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Şimdi skaler çarpımı çözüyoruz:

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

Ve son olarak bilinmeyeni açıklığa kavuşturuyoruz:

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

Egzersiz 7

Açıları hesapla

$\alpha , \beta$

$\gamma$

aşağıdaki üçgenin kenarlarını oluşturanlar:

İki vektörün skaler çarpımının adım adım çözüldüğü alıştırmalar ve problemler

Çözüme bakın

Üçgeni oluşturan köşeler aşağıdaki noktalardır:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Üçgenin iç açılarını hesaplamak için her bir kenarının vektörlerini hesaplayabilir, ardından nokta çarpım formülünü kullanarak oluşturdukları açıyı bulabiliriz.

Örneğin açıyı bulmak için

$\alpha$

Taraflarının vektörlerini hesaplıyoruz:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

Nokta çarpım formülünü kullanarak iki vektörün oluşturduğu açıyı buluyoruz:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Şimdi açıyı belirlemek için aynı işlemi tekrarlıyoruz.

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Son olarak son açıyı bulmak için aynı işlemi tekrarlayabiliriz. Bununla birlikte, bir üçgendeki tüm açıların toplamı 180 dereceye kadar olmalıdır, bu nedenle:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

İki vektörün nokta çarpımını hesaplayın

İki vektör arasındaki nokta çarpım nasıl hesaplanır

Nokta çarpımını kullanarak iki vektör arasındaki açıyı bulun

İki vektörün nokta çarpımının özellikleri

İki vektör arasındaki skaler çarpım problemlerini çözdük

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Alıştırma 4

Alıştırma 5

Alıştırma 6

Egzersiz 7

Yorum bırakın Yanıtı iptal et