Varyans , verilerin ortalama etrafında ne kadar iyi dağıldığını bize söyleyen istatistiksel bir ölçüdür. Bu, verilerin ortalama değerden ne kadar “yayıldığını” ölçmek gibidir.
Bir testteki puanlar gibi bir sayı listeniz olduğunu hayal edin. Varyans , bu puanların birbirinden ne kadar farklı olduğunu anlamanıza yardımcı olur. Puanlar birbirine çok yakınsa varyans düşük olacaktır. Ancak puanlar arasında çok fazla fark varsa varyans da yüksek olacaktır.
Genel olarak konuşursak, varyans, verilerin bir değerler kümesindeki dağılımını anlamak için yararlı bir araçtır. Varyansın yüksek olması verilerin daha yaygın olduğu, düşük olması ise verilerin birbirine daha yakın olduğu anlamına gelir.
Boşluk nasıl hesaplanır?
Varyansı hesaplamak için birkaç matematiksel adım atmanız gerekir, ancak endişelenmeyin, göründüğünden daha kolaydır. Öncelikle verilerin ortalamasını veya ortalamasını hesaplamanız gerekir. Daha sonra her veri parçasını ortalamadan çıkarın ve her farkın karesini alın. Daha sonra tüm bu kareleri toplayıp veri miktarına bölüyorsunuz. Bu varyans.
Bunu biraz daha iyi anlamak için aşağıda varyansın hesaplanmasına ilişkin bir örnek görelim:
1. Adım: Verileri alın
Diyelim ki elinizde şu veriler var: 5, 7, 9, 11, 13. Bunlar, varyansını hesaplamak istediğiniz bir veri örneğinden alınan değerlerdir.
Adım 2: Ortalamayı hesaplayın
Ortalamayı elde etmek için tüm değerleri toplayın ve toplam veri miktarına bölün:
Ortalama = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9
Verilerin ortalaması 9’dur.
Adım 3: Ortalamayı her veri noktasından çıkarın
Önceki adımda elde edilen ortalamayı listedeki her veri öğesinden çıkarın:
5 – 9 = -4
7 – 9 = -2
9 – 9 = 0
11 – 9 = 2
13 – 9 = 4
Adım 4: Her Farkın Karesini Alın
Önceki adımda elde edilen farkların her birinin karesi:
(-4) 2 = 16
(-2) 2 = 4
0 2 = 0
2 2 = 4
4 2 = 16
Adım 5: Farkların karelerini ekleyin
Önceki adımda elde edilen tüm sonuçları toplayın:
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
Adım 6: Veri miktarına bölün
Farkların karelerinin toplamını toplam veri miktarına bölün (bu durumda 5):
Sapma = 40 ÷ 5 = 8
Verilerin varyansı 8’dir .
Farklılığın formülü nedir?
Bu noktayı analiz etmeden önce varyansın istatistik açısından büyük önem taşıdığını belirtmekte fayda var. Oldukça basit bir ölçüm olmasına rağmen belirli bir değişkene dayalı ilginç bilgiler sağlar.
Ölçü birimi her zaman verilere karşılık gelen ancak karesi olan birim olacaktır. Ayrıca varyansın her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olduğuna dikkat edilmelidir. Bunun nedeni, artıkların her zaman karesi olmasıdır, dolayısıyla matematiksel açıdan negatif bir varyansın olması imkansızdır.
Bunu akılda tutarak, aşağıda size varyans formülünü gösteriyoruz:
S2 = boşluk
x i = veri kümesi terimi
X̄ = numune ölçümü
∑ = toplam
n = örneklem büyüklüğü
Yüksek ve düşük varyans nedir?
İstatistiksel bir örnek veya popülasyondaki veriler nadir ve ortalamadan uzak olduğunda varyansın yüksek olduğu kabul edilir. Bu, verilerdeki bireysel değerlerin geniş çapta dağıldığı ve verilerde büyük değişkenlik olduğu anlamına gelir.
Buna karşılık, bir örnek veya popülasyondaki veriler ortalamaya yakın olduğunda ve bireysel değerler arasında çok az dağılım olduğunda varyansın düşük olduğu kabul edilir. Bu, verilerin daha tutarlı ve daha az değişkenliğe sahip olduğu anlamına gelir.
Varyansın ana kullanım alanları nelerdir?
Varyans, bir örnekteki verilerin dağılımını veya değişkenliğini değerlendirme yeteneğinden dolayı çeşitli alanlarda yaygın olarak kullanılan istatistiksel bir ölçüdür. Varyansın temel kullanımlarından bazıları şunlardır:
Tanımlayıcı istatistiklerde – bir örnekteki verilerin dağılımını tanımlamak, bireysel değerlerin ortalamadan nasıl saptığını ve örnek içinde nasıl dağıldığını anlamaya yardımcı olmak.
Çıkarımsal istatistiklerde – bir popülasyondaki verilerin değişkenliğini bir örnekten tahmin etmek, böylece bir bütün olarak popülasyon hakkında çıkarımlar yapılmasına olanak tanımak.
Finansta : Yatırım riski ve getirisi analizinde, bir yatırım portföyünde daha yüksek varyans daha yüksek riske, daha düşük varyans ise daha düşük riske işaret eder.
Bilimsel araştırmalarda – Sonuçların değişkenliğini ve verilerin tutarlılığını anlamak için tıbbi araştırma, biyoloji, psikoloji ve diğer disiplinler gibi bilimsel çalışmalardaki verilerin değişkenliğini analiz edin.
Proses kalitesinin kontrolünde : Endüstriyel proseslerin kalite kontrolünde, üretilen ürün veya hizmetlerin değişkenliğini ölçmek, bu da prosesin tutarlılık ve kalite sorunlarını tanımlamayı mümkün kılar.
Ekonometride : Ekonomik değişkenlerin değişkenliğini anlamak ve ekonometrik modellerin güvenilirliğini değerlendirmek için ekonomik verilerin modellenmesi ve analizinde.
Varyansın anlamı nedir?
Varyans önemlidir çünkü bir örnekteki verilerin değişkenliğini anlamanıza olanak tanır. Varyansın yüksek olması, verilerin seyrek olduğu ve değişkenliğin çok olduğu anlamına gelir. Bu, yatırım, risk yönetimi ve veri analizi gibi alanlarda bilinçli kararlar almak için geçerlidir.
Ek olarak varyans, bir örnek veya popülasyondaki verilerin tutarlılığını anlamanıza yardımcı olur. Düşük varyans, verilerin tutarlı olduğunu ve çok az değişkenliğe sahip olduğunu gösterirken, yüksek varyans, verilerin daha az tutarlı ve daha fazla değişkenliğe sahip olduğunu gösterir.
Standart sapma ve varyans aynı mıdır?
Standart sapma ve varyans, bir örnek veya popülasyondaki verilerin yayılmasını veya değişkenliğini tanımlayan birbiriyle ilişkili iki istatistiksel ölçüdür. Aralarındaki temel fark, ölçüm birimi ve sonuçların yorumlanmasıdır.
Varyans, bireysel değerlerin ortalamadan sapmalarının karelerinin toplamının toplam veri sayısına bölünmesiyle hesaplanan, verilerin ortalamadan dağılımını temsil eden bir ölçüdür.
Her değer ile ortalama arasındaki farkların karesi alınarak, toplanarak ve örneklem veya popülasyon büyüklüğüne bölünerek hesaplanır. Varyans kare birimlerle ifade edilir ve orijinal verilerden farklı bir ölçekte olduğundan doğrudan yorumlanması zor olabilir.
Öte yandan standart sapma, varyansın karekökünden başka bir şey değildir. Varyansın pozitif karekökü olarak hesaplanır. Standart sapma, orijinal verilerle aynı birimlerle ifade edilir ve veri dağılımının daha sezgisel bir ölçüsüdür.
Daha yüksek bir standart sapma, verilerdeki daha fazla yayılmayı veya değişkenliği gösterirken, daha düşük bir standart sapma, daha az yayılmayı veya değişkenliği gösterir.
Gruplandırılmış veriler için boşluk
Gruplandırılmış veriler için varyans , aralıklar veya sınıflar halinde gruplandırılmış verilerin değişkenliğinin veya dağılımının hesaplanmasını ifade eder. Gruplandırılmamış verilerde varyans durumunda olduğu gibi bireysel verilere sahip olmak yerine, verilerin düştüğü aralıklara veya aralıklara sahipsiniz.
Gruplandırılmış veriler için varyansın hesaplanması biraz farklı bir formül kullanılarak yapılır. Öncelikle her aralığın alt ve üst sınırlarının ortalaması olan orta noktası hesaplanır. Daha sonra aralıkların bağıl veya mutlak frekansları ağırlık olarak kullanılarak orta noktaların ağırlıklı ortalaması hesaplanır.
Bu ağırlıklı ortalamadan varyans, gruplanmamış verilerle aynı formüle göre hesaplanır; yani bireysel değerler ile ağırlıklı ortalama arasındaki farkların karelerinin ortalaması olarak hesaplanır.
Gruplandırılmış veri varyansı, demografik veriler, ekonomik veriler veya kategoriler veya aralıklar halinde gruplandırılmış diğer herhangi bir veri türü gibi aralıklar veya sınıflar halinde sunulan veri kümeleriyle çalışırken kullanışlıdır.
Varyans Özellikleri
Varyans, birçok önemli özelliğe sahip istatistiksel bir ölçüdür. Varyansın temel özelliklerinden bazıları şunlardır:
- Bireysel veriler ile ortalama arasındaki farkların karelerinin ortalaması olarak tanımlandığından her zaman negatif olmayan bir değerdir .
- Farklılıkların karesi olduğundan verilerdeki aşırı veya aykırı değerlere duyarlıdır .
- Birim kareleri vardır; bu, orijinal verilerle aynı birim karede olduğu anlamına gelir.
- Aykırı değerlerden veya aşırı verilerden etkilenebilir, bu da onu veri değişkenliğinin sağlam olmayan bir ölçüsü haline getirebilir.
- Veriler bağımsız ve birbiriyle ilişkisiz ise, iki veri kümesinin toplamının varyansı , iki veri kümesinin varyanslarının toplamına eşittir .
Sapma örnekleri
Artık varyans kavramını ve önemini anladığımıza göre, nasıl çalıştığını daha iyi anlamak için pratik bir örneğe bakalım.
Diyelim ki bir şirketin son beş yıllık ekonomik sonucuna ilişkin milyonlarca dolar cinsinden şu verilere sahibiz: 8, 12, 6, -4, 10. Bu veri setinin varyansını daha önce bahsettiğimiz formülü kullanarak hesaplamak istiyoruz.
Adım 1: Aritmetik ortalamayı hesaplayın
Öncelikle verilerin aritmetik ortalamasını toplayıp toplam veri sayısına (bu durumda 5) bölerek hesaplıyoruz:
Aritmetik ortalama (X̄) = (8 + 12 + 6 – 4 + 10) ÷ 5 = 6,4 milyon dolar
2. Adım: Varyans formülünü kullanın
Daha sonra, her veri noktası ile aritmetik ortalama arasındaki farkların karesini hesaplamak için varyans formülünü kullanırız ve ardından bunları bir araya getiririz:
Burada xi her bir veri öğesini, X̄ aritmetik ortalamayı ve n ise veri öğelerinin toplam sayısını gösterir.
Verileri ve aritmetik ortalamayı varyans formülünde değiştiririz:
Sapma (Var(X)) = [(8 – 6,4) 2 + (12 – 6,4) 2 + (6 – 6,4) 2 + (-4 – 6,4) 2 + (10 – 6,4) 2 ] ÷ (5 – 1)
3. Adım: İşlemleri Çözün
Şimdi varyansın değerini elde etmek için işlemleri çözelim:
Sapma (Var(X)) = [1,6 2 + 5,6 2 + 0,16 2 + (-10,4) 2 + 3,6 2 ] ÷ 4
Sapma (Var(X)) = [2,56 + 31,36 + 0,0256 + 108,16 + 12,96] ÷ 4
Sapma (Var(X)) = 155,072 ÷ 4
Varyans (Var(X)) = 38,768 milyon kare
Bu veri setinin varyansı 38.768 milyon karedir ve bu bize verilerin aritmetik ortalamaya göre dağılımının veya değişkenliğinin bir ölçüsünü verir.