Eratosthenes elek yöntemi nedir?

Eratosthenes Sieve yöntemi, belirli bir sayıdan küçük olan tüm asal sayıları bulmak için kullanılan matematiksel bir algoritmadır. Bu sistem 2000 yıl önce Yunan matematikçi Eratosthenes tarafından geliştirildi.

Asal sayı, yalnızca iki böleni olan, 1’den büyük bir doğal sayıdır: 1 ve kendisi. Örneğin 2 sayısı asaldır çünkü yalnızca 1 ve 2’ye bölünür. 4 sayısı ise 1, 2 ve 4’e bölünebildiği için asal değildir.

Genel olarak Eratosthenes Elek yöntemi, belirli bir sayıdan küçük tüm asal sayıları bulmanın etkili bir yoludur. Bunu yapmak için bir sayı listesi kullanılır ve bulunan asal sayıların tüm katlarının üzeri çizilir. İşlem sonunda üzeri çizilmeyen sayılar asal sayılardır.

Eratosthenes eleği nasıl çalışır?

Eratosthenes süzgeci, birçok asal sayıyı nispeten hızlı ve kolay bir şekilde bulmak için kullanılabilecek güçlü bir kavramdır. Basit bir prensiple çalışır: Asal sayının herhangi bir katı asal sayı olamaz. Örneğin 3 asal sayı olduğundan 6, 9, 12, 15 ve 3’ün diğer tüm katları asal sayı olamaz.

Verilen iki tam sayı arasındaki asal sayıları bulmaya çalıştığınızda veya yeni asal sayılar aradığınızda, arama başlamadan önce tüm asal sayı katları güncellenebilir.

Eratosthenes süzgeci bir filtre gibi çalışır ve önceki tüm asal sayıların katlarını sayı listesinden çıkarır, böylece bunları test etmekle zaman kaybetmezsiniz.

Bu yöntemi daha iyi anlamak için pratik bir örnek kullanmak gerekir. Aşağıda 20’den küçük tüm asal sayıları nasıl bulacağımızı görelim:

1. 2’den 20’ye kadar sayıların bir listesini yazın: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
2. 2: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19’un tüm katlarını kaldırın.
3. 3: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19’un tüm katlarını eleyin.
4. 5’in tüm katlarını dikkate almayın: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
5. 7: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19’un tüm katlarının üzerini çizin.

Çaprazlanmamış sayılar asaldır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Eratosthenes eleği kullanılarak asal sayıların bulunmasına yönelik pratik örnekler

Asal sayıları bulmanın diğer yöntemleriyle karşılaştırıldığında Eratosthenes süzgecinin kullanımı hızlı ve kolaydır . Özellikle bilgisayarlar mevcut olmadığında. İşlem için herhangi bir bölme, çarpma veya arama faktörüne gerek yoktur.

Her iki durumda da elek, kesinlikle asal olmayan sayıları hızla eler. Bu yöntemin konsepti her sayının faktörlere bölünebileceği gerçeğine dayanmaktadır. Bu faktörler daha sonra gerekirse yalnızca asal faktörler kalana kadar bölünebilir.

Buna bir sayının asal çarpanlara ayrılması denir. Böyle bir süreç, asal olmayan tüm sayıların benzersiz bir asal çarpanlar kümesine sahip olduğunu gösterir.

Başka bir deyişle, asal olmayan herhangi bir sayının çarpanı olarak bir asal sayı vardır. Bir asal sayı belirlendiğinde, bu sayının tüm katları otomatik olarak asal olmayan sayı olarak değerlendirilebilir. Eratosthenes süzgeci bunları ortadan kaldırmanın bir yöntemidir. Örnek olarak 1 ile 30 arasındaki asal sayıları ele alabiliriz:

Anlamanız gereken ilk şey, asal sayıların 1 sayısına ve kendilerine bölünen sayılar olduğudur. Bu açık olduğundan Eratosthenes’in eleği örneğini ele alalım:

1. 1’den 30’a kadar sayıların bulunduğu bir tablo çizin.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	on
on bir	12	13	14	on beş
16	17	18	19	yirmi
yirmi bir	22	23	24	25
26	27	28	29	30

• Daha sonra 2 sayısını asal sayı olarak işaretleyin ve 2’nin tüm katlarını listeden kaldırın.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	on
on bir	12	13	14	on beş
16	17	18	19	yirmi
yirmi bir	22	23	24	25
26	27	28	29	30

• Daha sonra, bir sonraki işaretsiz sayı olan 3’ü asal sayı olarak düşünün ve listedeki tüm katlarının üzerini çizin.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	on
on bir	12	13	14	on beş
16	17	18	19	yirmi
yirmi bir	22	23	24	25
26	27	28	29	30

• Daha sonra 5’i işaretlemeden 5’in tüm katlarını listeden kaldırın. Bu durumda çok basit, sadece 5 ve 0 ile biten sayıları kaldırmanız yeterli.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	on
on bir	12	13	14	on beş
16	17	18	19	yirmi
yirmi bir	22	23	24	25
26	27	28	29	30

• Son olarak, bir sonraki adım, 2 ve 3’ün (14 ve 21) katlarının üzerini çizerek daha önce elenmiş olan 7’nin katlarını bulmaktır.

Bu işlem sonrasında elimizde 2 ile 30 arasındaki asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 bulunmaktadır.

Eratosthenes eleğinin günlük hayattaki uygulamaları nelerdir?

Her ne kadar bu algoritmanın günlük yaşamda pek fazla pratik uygulaması yok gibi görünse de aslında birkaç önemli uygulaması var.

Eratosthenes süzgecinin en yaygın kullanım alanlarından biri kriptografidir . Asal sayılar birçok şifreleme sisteminin güvenliğinde temel bir rol oynar. Bu nedenle Eratosthenes süzgeci asal sayıları bulmak ve üretmek için kullanışlı bir araçtır.

Eratosthenes süzgecinin bir diğer ilgili uygulaması da sayıların çarpanlara ayrılmasıdır. Büyük bir sayının çarpanlarını bulmak istiyorsanız Eratosthenes’in süzgecini kullanarak bu sayıyı hangi asal sayıların böldüğünü belirleyebilirsiniz. Bu, matematik problemlerini çözmek veya bir sayının yapısını analiz etmek için yararlı olabilir.

Ek olarak Eratosthenes süzgeci optimizasyon algoritmalarında ve veri kümelerinin incelenmesinde kullanılır. Örneğin, büyük dijital veri kümelerindeki kalıpları veya eğilimleri bulmak için kullanılabilir.

Genel olarak Eratosthenes eleği çok basit bir matematiksel algoritma olmasına rağmen günlük hayatta pek çok pratik uygulamaya sahiptir.

Eratosthenes’in eleği bir çocuğa nasıl anlatılır?

Her ne kadar karmaşık bir konu gibi görünse de örnekler ve oyunlar kullanılarak çocuklara kolaylıkla anlatılabilir. Eratosthenes’in kalburunu çocuklara açıklamak için bazı fikirler:

1. Asal sayıların ne olduğunu açıklayarak başlayın
2. Çocukların asal sayıları bulmak için Eratosthenes süzgecinin nasıl kullanıldığını anlamalarına yardımcı olun. Bunu yapmanın bir yolu eleme oyununu kullanmaktır. Örneğin, çocuklardan 2’den 30’a kadar olan sayılar listesinden 2’nin tüm katlarını kaldırmalarını isteyin. Daha sonra 3’ün tüm katlarını kaldırabilirler vb. Elenmeyen sayılar asal sayılardır.
3. Konsepti çocuklar için daha ilginç hale getirmek için farklı bağlamlarda asal sayıları bulma oyunu oynayabilirler. Örneğin arkadaşlarının doğum tarihlerindeki veya yaşadıkları evin numarasındaki asal sayıları arayabilirler.

Konsepti güçlendirmek için çocukların Eratosthenes süzgecini kullanarak farklı sayı aralıklarında asal sayıları bulma alıştırması yapmaları faydalı olacaktır. Çocuklar bu etkinliklerle Eratosthenes’in eleğini eğlenceli bir şekilde keşfederek onun matematikteki ve günlük yaşamdaki önemini kavrayabilirler.

Eratosthenes’in elek yönteminin tarihçesi

Eratosthenes, M.Ö. 3. yüzyılda yaşamış Yunan matematikçi ve astronomdur . Aslında Eratosthenes Sieve yöntemi de dahil olmak üzere matematik ve bilime önemli katkılarıyla tanınıyor.

Bu büyük insan, zengin deneylerin ve entelektüel merakın olduğu bir dönemde yaşadı. Bu Helenistik dönem, Yunan biliminin ve felsefesinin Batı dünyasına yayıldığını gördü.

Dünyanın dört bir yanından akademisyenler ve bilim insanları tartışmak, tartışmak ve birbirlerinden bir şeyler öğrenmek için yeni kütüphanelerde ve okullarda bir araya geldi. Eratosthenes bu fikirlerin çoğunu çok sayıda matematiksel keşif için temel olarak kullandı. Bu keşiflerden biri de Eratosthenes Eleği’dir.

Eratosthenes, dönemin en önemli araştırma ve eğitim kurumlarından biri olan İskenderiye Kütüphanesi’nin kütüphanecisiydi. Kütüphaneci olarak görev yaptığı dönemde Eratosthenes, Eratosthenes Elek yöntemini geliştirdi. Bu yöntem, belirli bir sayıdan küçük asal sayıları bulmanız gerektiğinde en iyi yöntemlerden biridir.

Eratosthenes Elek prosedürü o zamandan beri matematikte temel bir araç olarak kullanılmaktadır. Bu sayede kriptografiden matematiksel araştırmalara kadar birçok alanda uygulanabilir. Asal sayıları bulmanın daha hızlı yöntemleri olmasına rağmen Eratosthenes Sieve yöntemi hala etkili ve yaygın olarak kullanılan bir yöntem olmaya devam ediyor.