Küme teorisi matematiksel mantığın dört unsurundan biridir. Bu teori, öğelerin gruplanmasını, niteliklerini ve bütünü oluşturan nesneler arasındaki bağlantıları inceleyerek analiz eder.
Bu teoride kümelerden bahsettiğimizde benzer özelliklere sahip soyut yapı gruplarından bahsediyoruz. Bu teoride bütünü oluşturan nesnelerle kesişim, tümleme, fark ve birleştirme gibi işlemler bu haliyle gerçekleştirilir.
Daha basit bir ifadeyle küme teorisi, kümelere dayalı bir matematik dalıdır. Bu nedenle her bir elemanın tüm özelliklerinin yanı sıra aralarında oluşan bağlantıları da değerlendirir.
Daha önce de açıkladığımız gibi kümeler , nesne gruplarından başka bir şey değildir. Yani bunlar semboller, kelimeler, sayılar, geometrik şekiller, harfler ve diğerleri olabilir.
Ne tür setler var?
Bir kümenin içerdiği nesnelerin sayısına bağlı olarak farklı şekillerde sınıflandırılırlar. Bunlar:
- Sonlu kümeler : Eleman sayıları ortak olan kümelerdir. Örneğin haftanın tüm günleri, tüm sesli harfler ve diğerleri.
- Sonsuz kümeler : Sonsuz sayıda nesne içerir. Örneğin gerçek sayılar.
- Evrensel küme : Belirli bir durumda dikkate alınan tüm nesneleri bir araya getirir. Örneğin bir zarın sayı kümesini kullanmak istiyorsanız evrensel küme U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}’tır.
- Boş küme : Hiçbir elemanı olmayan kümedir. Örneğin yılın 27 günden oluşan tüm ayları.
Bir kümeyi tanımlamanın yöntemleri nelerdir?
Bir kümeyi tanımlamak için öncelikle grubun elemanlarının ortak bir yönünü belirleriz. Örneğin, pozitif tamsayılar (20’den küçük çift sayılar) içeren bir ilk küme. Şöyle görünecektir:
A= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
Buradan bir kümeyi tanımlamak için iki yöntem kullanılabilir. Bunlardan ilki numaralandırma veya uzatma yöntemi olarak bilinmektedir. İkincisine ise açıklama yöntemi denir. Birincisinde kümenin elemanları özel olarak listelenirken, ikincisinde elemanların karşılaması gereken özellik esas alınır.
İlk sistem, az sayıda eleman içeren kümeleri tanımlamak için çok kullanışlıdır; işte bazı örnekler:
Ortak zarları atın M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Sonlu).
G= {a, e, i, o, u} (Sonlu) alfabesindeki ünlüler.
İkinci yöntem ise çok sayıda elemanlı kümeleri veya sonsuz kümeleri tanımlamak için daha pratiktir. Daha sonra size bazı örnekler gösteriyoruz:
32’den küçük tüm doğal sayılar S = {x ∈ ℕ | x < 32} (tamamlandı).
Tüm doğal sayılar N = {x ∈ ℕ} (Sonsuz).
Sayı kümesi nedir?
Temel olarak sayıların içine girdiği sınıflandırma sayı kümeleri olarak bilinir. Bu her birinin özelliklerine bağlı. Yani, örneğin bir sayının ondalık basamakları varsa veya negatif işareti varsa.
Sayı kümeleri, farklı matematiksel işlemleri gerçekleştirmek için ihtiyaç duyduğumuz sayıların her biri. Bu hem günlük yaşamda hem de bilim veya mühendislik gibi daha karmaşık senaryolarda geçerlidir.
Bu setler insan zihninin yaratımlarından gelir. Bu nedenle soyut olarak oluşturulmuştur. Yani dijital setler maddi olarak mevcut değildir. Sayı kümeleri daha sonra çeşitli sayı türlerine bölünür.
- Doğal sayılar : Bunlar hepimizin saymak için kullandıkları sayılardır. Sonsuza kadar uzanırlar ve bir birimin küçük kesirlerini alırlar. Doğal sayılar kümesi resmi olarak N harfiyle şu şekilde ifade edilir: ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
- Tam Sayılar : Bu sayılar doğal sayıları kapsar. Ayrıca ihtiyatlı kesirleri işgal eden ancak önünde negatif işareti bulunan tüm sayılar. Aynı şekilde sıfır da eklenir. Şu şekilde ifade edilebilirler: ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. Bu kümede sayıların her birinin karşı işaretli karşılığı vardır. Başka bir deyişle 8’in tersi -8’dir.
- Rasyonel sayılar : Rasyonel sayılar, iki tam sayının ve tüm tam sayıların bölümü olarak ifade edilen sayıları kapsar. Bu, herhangi bir sorun yaşamadan ondalık sayıya sahip olabilecekleri anlamına gelir. Bu küme şu şekilde ifade edilebilir: ℚ = ℤ/ℤ.
- İrrasyonel sayılar : Bu sayılar iki tam sayının bölümü olarak ifade edilmez. Ayrıca sonsuza kadar uzanmalarına rağmen sürekli bir periyodik kesitte belirtilmezler. İrrasyonel ve rasyonel sayıların farklı kümelerin parçası olduğunu açıklığa kavuşturmak gerekir. Bu nedenle ortak özellikleri yoktur. İrrasyonel bir sayıya örnek: √123. 11.0905365064.
- Gerçek sayılar : Bu sayılar rasyonel ve irrasyonel sayıları içerir. Bu, bu grubun eksi sonsuzdan sonsuza kadar sayıları içerdiği anlamına gelir.
- Sanal sayılar : Bu sayılar sanal birimin herhangi bir gerçek sayıyla çarpılması sonucu elde edilir. Sanal birim -1’in kareköküne dönüşür. Bu sayıların gerçek sayılarla hiçbir ilişkisi yoktur. Şu şekilde ifade edilirler: p= r * s. Bu durumda: p sanal bir sayıdır, r bir gerçek sayıdır ve s sanal bir birimdir.
- Karmaşık sayılar – Karmaşık sayıların bir sanal kısmı ve bir gerçek kısmı vardır. Yapısı şu şekilde ifade edilir: v + ri. Bu durumda: v bir gerçel sayıdır, r sanal kısımdır, i sanal birimdir
Kümelerin birliği nedir?
Kümelerin birliğinin, bir U’nun tüm iç kümelerinin kümesi üzerinde gerçekleştirilen ikili bir işlemden başka bir şey olmadığını düşünebiliriz. İkili işlemle, belirli bir kümenin olması için operatöre ve iki argümana bağlı olanı anlayın. hesaplama.
Bu anlamda, U’nun bir kısmını oluşturan A ve B kümelerinin her çifti, U’nun başka bir kümesiyle (AUB) ilişkilidir. Dolayısıyla, eğer A ve B iki farklı küme ise, kümelerin birleşimi şu şekilde ifade edilir: A={ Luis, Carlos}, B={Carla, Luisa, Paola}; AUB={Luis, Carlos, Carla, Luisa, Paola}.
Kümelerin kesişimi nedir?
Kümenin kesişimi, orijinal kümelerin tekrarlanan veya sık görülen nesneleri ile başka bir kümeye türetilen bir işlemdir. Boş kümelerin kesişmesi durumunda ayrık olarak tanımlanır. Bu durumda şu şekilde ifade edilir: S ∩ D = Ø.
Bu işlemdeki ∩ sembolü kesişmeye yanıt verir. Daha iyi anlamak için aşağıdaki örneğe bakalım:
M= {Yeşil, Siyah, Beyaz, Mor}.
J = {Siyah, Yeşil, Pembe, Mavi}.
Bu durumda: M ∩ J = {yeşil, siyah} çünkü bunlar ilk iki kümede tekrar eden nesnelerdir.
Genel fark nedir?
Küme farkı, küme teorisinin bir parçası olan üçüncü işlemdir. A’nın B’de bulunmayan nesnelerinden yeni bir küme elde edilmesini mümkün kılan işlem olarak tanımlanır. Örneğin:
bir = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
B = {2, 4, 6, 8}.
Yani küme farkı, A kümesinin parçası olan ancak B kümesinin parçası olmayan elemanlardan elde edilir. Bu, {10, 12, 14} ile sonuçlanır.
Bir kümenin tamamlayıcısı nedir?
Bir kümenin tümleyeni, U’nun kümenin parçası olmayan tüm nesneleri olarak tanımlanır. Başka bir deyişle, orijinal kümeyi oluşturmayan unsurları içeren bir kümedir. Bu kavramı daha iyi anlayabilmek için kullanılan nesnelerin veya tam tersi evrensel kümenin tipinin bilinmesi gerekmektedir.
Yani örneğin asal sayılardan bahsediyorsak tamamlayıcı küme asal olmayan sayılar kümesidir. Aynı zamanda asal sayılar kümesi asal olmayan sayıların tümleyenidir.
Kümeler arasındaki simetrik fark nedir?
Kümelerin simetrik farkı , nesneleri aynı anda diğer iki kümeyle hiçbir ilgisi olmayan bir başlangıç kümesinin parçası olan bir kümedir. Bu işlemi küme teorisinden örneklendirirsek aşağıdakileri elde ederiz:
{1, 2, 3} ve {2, 3, 4, 6, 9, 8} = simetrik fark {1, 4, 6, 9, 8} olacaktır.
Venn diyagramı nedir?
Venn şemasının bir parçası olan grafiklerin tümü sürekli kapalı bir çizgiyle ifade edilen grafiklerdir. Yani ovaller, üçgenler, daireler ve diğerleri. Genel olarak evrensel küme dikdörtgen şeklinde ifade edilir. Kümelerin geri kalanı geometrik olarak daireler veya ovallerle ifade edilir.
Bu diyagramın herhangi bir matematiksel kanıt içermediğini akılda tutmak önemlidir. Bununla birlikte, belirli bir küme ile diğeri arasındaki bağlantıya dair bir sezgiye sahip olmak faydalıdır.
Küme teorisi nerede uygulanır?
Küme teorisinin uygulama alanları çoktur. Esas olarak geometrik mantıksal temellerin formülasyonunda kullanılır. Ancak topoloji gibi başka uygulamaları da vardır. Genel olarak konuşursak, bu teori bilim, matematik, fizik, biyoloji, kimya ve hatta mühendislikle ilgilidir.
Matematiksel mantığı daha iyi anlamak için bu unsuru iyi bilmek önemlidir, küme teorisi en önemlilerinden biridir. Üstelik daha önce de çok iyi anlattığımız gibi sadece matematikte bir uygulaması yok.
Günlük dilde küme teorisinden nasıl bahsederiz?
Küme teorisi matematiğin temel bir parçasıdır. Ancak bu aynı zamanda operasyonel olmaktan çok günlük alanlarla da ilgilidir. Başka bir deyişle bunlar her zaman sayısal kümeler değildir. Geleneksel dilde bir kümeye atıfta bulunmak biraz daha karmaşıktır.
Bunun nedeni, örneğin en önemli ressamlardan oluşan bir grup oluşturmak istersek algıların farklı olacağıdır. Bu nedenle fikir birliğine varılması neredeyse imkansızdır . Kısacası niteliklerine göre kimin grupta olup olmadığını belirlemek o kadar da kolay değil.
Bu özel kümelerden bazıları boş kümeler olarak tanımlanan veya hiçbir öğesi olmayan kümelerdir. Ek olarak, tek bir öğe veya birimden oluşan kümelerle de ilgileniyor olabiliriz.
Küme teorisinin tarihçesi nedir?
Küme teorisi Alman Georg Cantor’un araştırmasıyla ortaya çıktı. Bu karakter ünlü bir matematikçiydi. Aslında bugüne kadar bu teorinin babası olarak biliniyor. Araştırmacıların en alakalı araştırmaları arasında sayısal ve sonsuz kümeler yer alıyor.
Cantor’un küme teorisi ile ilgili ilk araştırması 1874 yılında yapılmıştır. Ayrıca çalışmalarının, dönemin önemli matematikçilerinden Richard Dedekind’in araştırmalarıyla bağlantılı kaldığını da belirtmekte fayda var. İkincisi bile doğal sayıların incelenmesinde temel bir rol oynadı.
Küme teorisi ne kadar önemlidir?
Bu teorinin incelenmesi olasılık analizi , onunla ilgili her şeyde matematik ve istatistik için gereklidir. Bu teorinin parçası olan işlemlerin her biri, belirli bir sonuç elde etmek amacıyla deneyler yapmak için kullanılır.
Cevaplar her zaman deneyin yapıldığı koşullarla ilgilidir. Bu nedenle bu tür araştırmalarda setler temel bir rol oynar.