Aritmetik ortalama nedir ve nasıl hesaplanır? Ortalama, belirli bir sayı kümesinin toplanması ve sonucun değer sayısına bölünmesiyle elde edilen sayısal bir değerdir. Örneğin 2, 4, 1 ve 6 numaralı verilerin aritmetik ortalamasını hesaplamak istiyorsak şu hesaplamayı yapmamız gerekir: (2 + 4 + 1 + 5) / 4 = 3. Bu makalenin ilerleyen kısımlarında biz bir sayı kümesinin ortalamasının nasıl bulunacağını daha ayrıntılı olarak açıklayacağım. Ayrıca aşağıdaki aritmetik ortalama hesaplayıcıyı da elinizin altında bulunduracaksınız, böylece sonuçlarınızın doğru olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.
Çevrimiçi ortalama hesaplayıcı
Bir sayı dizisinin ortalamasını hesaplamak istiyorsanız, egzersizlerinizin sonuçlarını kontrol edebileceğiniz ve bunları doğru çözüp çözmediğinizi öğrenebileceğiniz bu çevrimiçi aritmetik ortalama hesaplayıcıyı kullanabilirsiniz. Kullanımı çok basittir, çünkü yalnızca kümeyi oluşturan sayıları (virgülle ayırarak) girmeniz ve ardından hesapla düğmesine tıklamanız gerekir. Ondalık sayıları noktayla (virgülle değil) girmeyi unutmayın.
Aritmetik ortalama nasıl hesaplanır?
Aritmetik ortalamayı herhangi bir seriye veya sayı kümesine göre hesaplamamıza olanak tanıyan bir formül vardır:
Örneğin, bir sayı kümesinin [1, 4, 7, 2, 5, 10] ortalamasını hesaplamak istiyorsanız, bunları toplayıp elde edilen sonucu daha önce eklediğiniz değerlerin sayısına bölmeniz yeterlidir: ( 1 + 4 + 7 + 3 + 5 + 10) / 6 = 5. Ancak bazen bir frekans tablosundaki değerlerin aritmetik ortalamasını hesaplamamız gerekebilir. Bu durumlarda aynı formülü uygulamalıyız, ancak her sayıyı görünme sayısıyla ( mutlak frekansı ) çarpmalı ve N'yi mutlak frekansların toplamına eşitlemeliyiz. Örneğin, (1 x 4 + 3 x 2 + 5 x 4) / (4 + 2 + 4) = 3.
Bu formülü, N'nin i tabanıyla toplamı (Σ i N ) sonra N'ye bölünmesi şeklinde de ifade edebiliriz. Bu son ifade, yukarıdaki görseldekiyle aynı şeyi söylemenin başka bir yoludur. Bu genellikle matematik ders kitaplarında daha fazla bulunsa da, bu yüzden bilmek önemlidir.
Aritmetik ortalamanın özellikleri
- Sapmaların toplamı: tüm verilerin bütünün ortalamasından sapmalarının toplamı sıfıra eşittir, bu özellikten aşağıdaki formülü çıkarabiliriz Σ(X i - x̄) = 0.
- Sapmaların karelerinin toplamı: Tüm verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarının karelerini topladığımızda minimum sayısal bir değer elde ederiz. O halde Σ(X i - x̄) 2 ≤ Σ(X i - a) 2 , a ∈ ℝ.
- Eşdeğer aritmetik ortalama: Sayısal seti oluşturan tüm değerlere bir x değeri eklersek, bu sayıların ortalaması önceki aritmetik ortalamanın ve eklenen sayının toplamına eşit olacaktır: x̄ = x̄ 0+ var. Bu aynı zamanda ürün durumunda da olur.
ortalama uygulamalar
Genel olarak bu matematiksel kaynağı, sayısal grubun davranışını basitleştirilmiş bir şekilde anlayabileceğimiz setimizin temsili bir değerini hesaplamak için kullanırız. Buna bir örnek olarak sınıfın ortalama notunu hesaplamak verilebilir; bu şekilde toplam öğrenci sayısını gösteren bir puan elde edebiliriz. Ortalamayı genellikle bilim deneylerinde de kullanırız çünkü daha doğru bir sonuç elde etmek için çoğu zaman birden fazla sonuç toplamamız ve bunların ortalamasını almamız gerekir.
Aritmetik Ortalama Çözülmüş Problemler
Daha sonra size aritmetik ortalamanın üç ana türüyle ilgili bazı alıştırmalar sunacağız, bunların hepsinin bu makalede açıklanan yöntemlerle çözüldüğünü unutmayın. Ve dilerseniz sayısal kısmını (hesaplamaları) yukarıdaki hesap makinesiyle ve çevrimiçi hesap makinemiz ile yapabilirsiniz. Bununla birlikte, pratik yapmanıza izin veriyoruz:
temel aritmetik araçlar
Aşağıdaki veri kümesinin [2, 5, 3, 7, 6, 1] aritmetik ortalamasını hesaplar. Bunu yaptıktan sonra, aynı sayı grubunun ortalamasını hesaplamanız gerekir, ancak bunların tümü 2 ile çarpılır:
İlk bölümü çözmek için yukarıda biraz yorumladığımız formülü kullanmamız gerekecek: x̄ = (2 + 5 + 3 + 7 + 6 + 1) / 6 = 4. İkinci bölümde ortalamayı hesaplamak için ise, aynı hesaplamayı yapmamız gerekecek ama her sayıyı 2 ile çarpmamız gerekecek: (2 x 2 + 5 x 2 + 3 x 2 + 7 x 2 + 6 x 2 + 1 x 2) / 6 = 8. Görebildiğimiz gibi, ikinci durumda ortalamanın sonucu iki katıdır ve eşdeğer ürünün özelliği doğrulandığı için bu tahmin edilebilirdi.
Gruplandırılmış veriler için aritmetik ortalama
On beş öğrencinin matematik notları: 5, 8, 7, 4, 9, 3, 6, 8, 7, 8, 9, 7, 5, 8, 8. Sınıf ortalamasını hesaplayın:
Bu durumda listede her sayının kaç kez göründüğünü saymamız gerekecek, ardından hesaplamayı gruplandırılmış verilere uygulanan aritmetik ortalama formülü (mutlak frekansın devreye girdiği formül) ile çözeceğiz: x̄ = (3 x 1 + 4x1 + 5x2 + 6x1 + 7x3 + 8x5 + 9x2) / 15 = 6,8. Sonuç olarak bazı yüksek puanlara rağmen düşük değerlerin genel ortalamayı oldukça olumsuz etkilediğini görebiliyoruz.
Bilinen bir ortalamadan hesaplama
İki sayının ortalamasının 9,25 ve iki sayıdan birinin 6 olduğunu biliyorsak ikinci sayı ne olur?
İkinci değeri hesaplamak için alıştırmalarda her zaman kullandığımız formüle dayalı bir denklem kurmamız gerekecek: (6 + x) / 2 = 9,25. Son olarak x'i yalnız bırakacağız ve ikinci sayıya eşdeğer olan sayısal değerini elde edeceğiz. Bu durumda x = 12,5.