La méthode Eratosthenes Sieve est un algorithme mathématique utilisé pour trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné. Ce système a été développé par le mathématicien grec Eratosthène il y a plus de 2 000 ans.
Un nombre premier est un nombre naturel supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, le nombre 2 est premier, puisqu’il n’est divisible que par 1 et 2. Le nombre 4, en revanche, n’est pas premier, puisqu’il est divisible par 1, 2 et 4.
En général, la méthode Eratosthenes Sieve est un moyen efficace de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné. Pour ce faire, une liste de nombres est utilisée et tous les multiples des nombres premiers trouvés sont barrés. A la fin du processus, les nombres qui n’ont pas été barrés sont les nombres premiers.
Comment fonctionne le tamis d’Eratosthène ?
Le crible d’Eratosthène est un concept puissant qui peut être utilisé pour trouver de nombreux nombres premiers relativement rapidement et facilement . Il fonctionne sur un principe simple : tout multiple d’un nombre premier ne peut pas être un nombre premier. Par exemple, puisque 3 est premier, 6, 9, 12, 15 et tous les autres multiples de 3 ne peuvent pas être des nombres premiers.
Lorsque vous essayez d’identifier des nombres premiers entre deux nombres entiers donnés ou que vous recherchez de nouveaux nombres premiers, tous les multiples de nombres premiers peuvent être actualisés avant même le début de la recherche.
Le tamis Eratosthenes fonctionne comme un filtre, supprimant les multiples de tous les nombres premiers précédents de la liste des nombres afin que vous ne perdiez pas de temps à les tester.
Pour mieux comprendre cette méthode, il est nécessaire d’utiliser un exemple pratique. Voyons ci-dessous comment trouver tous les nombres premiers inférieurs à 20 comme suit :
- Écrivez une liste de nombres de 2 à 20 : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
- Supprimez tous les multiples de 2 : 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
- Éliminez tous les multiples de 3 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- Ignorez tous les multiples de 5 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- Barrez tous les multiples de 7 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Les nombres non barrés sont premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Exemples pratiques pour trouver des nombres premiers à l’aide du crible d’Eratosthène
Comparé à d’autres méthodes de recherche de nombres premiers, le crible d’Eratosthène est rapide et facile à utiliser . Surtout quand les ordinateurs ne sont pas disponibles. Aucun facteur de division, de multiplication ou de recherche n’est requis pour le processus.
Dans les deux cas, le tamis élimine rapidement les nombres qui ne sont définitivement pas premiers. Le concept de cette méthode est basé sur le fait que chaque nombre peut être divisé en facteurs . Ces facteurs peuvent ensuite être divisés, si nécessaire, jusqu’à ce qu’il ne reste que les facteurs premiers.
C’est ce qu’on appelle la factorisation première d’un nombre. Un tel processus indique que tous les nombres non premiers ont un ensemble unique de facteurs premiers.
En d’autres termes, tout nombre non premier a un nombre premier comme facteur. Une fois qu’un nombre premier est identifié, tous ses multiples peuvent automatiquement être considérés comme non premiers . Le tamis d’Eratosthène est une méthode pour les éliminer. A titre d’exemple, on peut considérer les nombres premiers entre 1 et 30 :
La première chose que vous devez comprendre est que les nombres premiers sont ceux qui sont divisés par le nombre 1 et eux-mêmes. Ceci étant clair, prenons l’exemple du crible d’Eratosthène :
- Dessinez un tableau avec les nombres de 1 à 30.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dix |
| onze | 12 | 13 | 14 | quinze |
| 16 | 17 | 18 | 19 | vingt |
| vingt-et-un | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Marquez ensuite le nombre 2 comme un nombre premier et supprimez tous les multiples de 2 de la liste.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dix |
| onze | 12 | 13 | 14 | quinze |
| 16 | 17 | 18 | 19 | vingt |
| vingt-et-un | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Ensuite, considérez le nombre non marqué suivant, qui est 3, comme un nombre premier et rayez tous ses multiples de la liste.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dix |
| onze | 12 | 13 | 14 | quinze |
| 16 | 17 | 18 | 19 | vingt |
| vingt-et-un | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Ensuite, supprimez de la liste tous les multiples de 5 sans marquer 5. Dans ce cas c’est simple, il vous suffit de supprimer les nombres qui se terminent par 5 et 0.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dix |
| onze | 12 | 13 | 14 | quinze |
| 16 | 17 | 18 | 19 | vingt |
| vingt-et-un | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Enfin, l’étape suivante consiste à retrouver les multiples de 7 qui ont déjà été éliminés plus tôt en barrant les multiples de 2 et 3 (14 et 21).
Après ce processus, nous avons que les nombres premiers entre 2 et 30 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 .
Quelles sont les applications du tamis d’Eratosthène dans la vie de tous les jours ?
Bien qu’il puisse sembler que cet algorithme n’a pas beaucoup d’applications pratiques dans la vie quotidienne, il a en fait plusieurs applications importantes.
L’une des applications les plus courantes du crible d’Eratosthène est la cryptographie . Les nombres premiers jouent un rôle fondamental dans la sécurité de nombreux systèmes de chiffrement. Par conséquent, le tamis Eratosthenes est un outil utile pour trouver et générer des nombres premiers.
Une autre application pertinente du crible d’Eratosthène est la factorisation des nombres. Si vous voulez trouver les facteurs d’un grand nombre , vous pouvez utiliser le crible d’Eratosthène pour déterminer quels nombres premiers divisent ce nombre. Cela peut être utile pour résoudre des problèmes mathématiques ou analyser la structure d’un nombre.
De plus, le tamis Eratosthenes est utilisé dans les algorithmes d’optimisation et dans l’étude des ensembles de données. Par exemple, il peut être utilisé pour trouver des modèles ou des tendances dans de grands ensembles de données numériques.
En général, bien que le crible d’Eratosthène soit un algorithme mathématique très simple , il a de nombreuses applications pratiques dans la vie quotidienne.
Comment expliquer le crible d’Eratosthène à un enfant ?
Bien que cela puisse sembler être un sujet complexe, il peut être facilement expliqué aux enfants à l’aide d’exemples et de jeux. Voici quelques idées pour expliquer le tamis d’Eratosthène aux enfants :
- Commencez par expliquer ce que sont les nombres premiers
- Aidez les enfants à comprendre comment le tamis d’Ératosthène est utilisé pour trouver des nombres premiers. Une façon de faire est d’utiliser un jeu d’élimination. Par exemple, demandez aux enfants de supprimer tous les multiples de 2 d’une liste de nombres de 2 à 30. Ensuite, ils peuvent supprimer tous les multiples de 3, et ainsi de suite. Les nombres non éliminés sont les nombres premiers.
- Pour rendre le concept plus intéressant pour les enfants, ils peuvent jouer à la recherche de nombres premiers dans différents contextes. Par exemple, ils peuvent rechercher des nombres premiers dans la date de naissance de leurs amis ou dans le numéro de la maison dans laquelle ils habitent.
Pour renforcer le concept, il est valable que les enfants s’exercent à trouver des nombres premiers à l’aide du tamis d’Eratosthène dans différentes plages de nombres. Avec ces activités, les enfants peuvent découvrir le crible d’Eratosthène de manière ludique et comprendre son importance en mathématiques et dans la vie quotidienne.
Histoire de la méthode du tamis d’Eratosthène
Eratosthenes était un mathématicien et astronome grec qui a vécu au 3ème siècle avant J.-C. En fait, il est connu pour ses importantes contributions aux mathématiques et aux sciences, y compris la méthode Eratosthenes Sieve.
Ce grand personnage a vécu à une époque de riche expérimentation et de curiosité intellectuelle. Cette époque hellénistique a vu la diffusion de la science et de la philosophie grecques dans tout le monde occidental.
Des universitaires et des scientifiques de partout se sont rassemblés dans de nouvelles bibliothèques et écoles pour débattre, discuter et apprendre les uns des autres. Eratosthène a utilisé nombre de ces idées comme base pour un grand nombre de découvertes mathématiques . L’une de ces découvertes était le crible d’Eratosthène.
Eratosthène était le bibliothécaire de la Bibliothèque d’Alexandrie , l’une des institutions de recherche et d’enseignement les plus pertinentes de l’époque. Pendant son temps en tant que bibliothécaire, Eratosthenes a développé la méthode Eratosthenes Sieve. Cette méthode est l’une des meilleures lorsque vous devez localiser des nombres premiers inférieurs à un nombre particulier.
La procédure Eratosthenes Sieve a été utilisée depuis comme un outil fondamental en mathématiques. Grâce à cela, il est applicable dans des domaines allant de la cryptographie à la recherche mathématique. Bien qu’il existe des méthodes plus rapides pour trouver des nombres premiers, la méthode Eratosthenes Sieve reste un moyen efficace et largement utilisé .