Теория множеств — один из четырех элементов математической логики . Эта теория анализирует группировку элементов, изучая их качества и связи между объектами, составляющими целое.
Когда мы говорим о множествах, в этой теории мы имеем в виду абстрактные группы структур, имеющие схожие характеристики. В этой теории такие операции, как пересечение, дополнение, различие и объединение, выполняются с объектами, создающими целое как таковое.
Проще говоря, теория множеств — это раздел математики, основанный на множествах. Поэтому он оценивает все свойства каждого элемента, а также связи, возникающие между ними.
Как мы уже объясняли ранее, множества — это не что иное, как группы объектов. То есть это могут быть символы, слова, цифры, геометрические фигуры, буквы и другие.
Какие виды наборов существуют?
В зависимости от количества предметов, содержащихся в наборе, они классифицируются по-разному. Это:
- Конечные множества : все те, которые имеют общее число элементов. Например, все дни недели, все гласные и другие.
- Бесконечные множества – содержат бесконечное количество объектов. Например, действительные числа.
- Универсальный набор : объединяет все объекты, принимаемые во внимание в конкретном случае. Например, если вы хотите использовать набор чисел игральной кости, универсальный набор — это U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Пустое множество : множество, не имеющее элементов. Например, все месяцы в году, в которых 27 дней.
Какие существуют методы определения множества?
Чтобы определить набор , мы сначала устанавливаем общий аспект элементов группы. Например, первый набор содержит положительные целые числа, даже числа меньше 20. Это будет выглядеть так:
А= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
Отсюда для определения набора можно использовать два метода. Первый из них известен как метод нумерации или расширения . А второй называется методом описания . В первом конкретно перечисляются элементы множества, а во втором основывается на свойстве, которому должны удовлетворять элементы.
Первая система очень полезна для описания множеств, содержащих мало элементов . Вот несколько примеров:
Бросьте общий кубик M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (конечное).
Гласные, находящиеся в алфавите G= {a, e, i, o, u} (Конечные).
В то время как второй метод более практичен для определения множеств с большим количеством элементов или бесконечных множеств. Далее мы покажем вам несколько примеров:
Все натуральные числа меньше 32 S = {x ∈ ℕ | x < 32} (закончено).
Все натуральные числа N = {x ∈ ℕ} (Бесконечность).
Что такое набор цифр?
По сути, категоризация, на которую попадают числа, известна как наборы чисел . Это применительно к характеристикам каждого из них. То есть, если, например, число имеет десятичные знаки или имеет отрицательный знак.
Наборы чисел — это числа, которые нам нужны для выполнения различных математических операций. Это применимо как в повседневной жизни, так и в более сложных сценариях, таких как наука или техника.
Эти наборы созданы человеческим разумом. Поэтому они составлены абстрактно. Другими словами, цифровые наборы не существуют материально . Наборы чисел затем делятся на несколько типов чисел.
- Натуральные числа : это те, которые мы все используем для счета. Они простираются до бесконечности и занимают малые доли единицы. Формально множество натуральных чисел выражается буквой N и выглядит следующим образом: ℕ = {1, 2, 3…} = ℕ \ {0}
- Целые числа : эти числа включают натуральные числа. А также все числа, которые представляют собой осторожные дроби, но перед которыми стоит отрицательный знак. Аналогичным образом добавляется ноль. Их можно выразить следующим образом: ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. В этом наборе каждое из чисел имеет свой эквивалент с противоположным знаком. Другими словами, противоположностью 8 является – 8.
- Рациональные числа : Рациональные числа охватывают числа, выраженные как частное двух целых чисел и всех целых чисел. Это означает, что они могут без проблем иметь десятичное число . Этот набор можно выразить следующим образом: ℚ = ℤ/ℤ.
- Иррациональные числа : эти числа не выражаются как частное двух целых чисел. Кроме того, они не указаны в непрерывном периодическом разрезе, хотя и простираются до бесконечности. Необходимо уточнить, что иррациональные и рациональные числа входят в состав разных множеств. Поэтому у них нет общих характеристик. Пример иррационального числа: √123. 11.0905365064.
- Действительные числа : эти числа включают в себя рациональные и иррациональные числа. Это означает, что в эту группу входят числа от минус бесконечности до бесконечности.
- Мнимые числа : эти числа получаются в результате умножения мнимой единицы на любое действительное число. Мнимая единица преобразуется в квадратный корень из – 1. Эти числа не имеют никакого отношения к действительным числам. Они выражаются следующим образом: p= r * s. В данном случае: p — мнимое число, r — действительное число, а s — мнимая единица.
- Комплексные числа . Комплексные числа имеют мнимую и действительную часть. Его структура выражается следующим образом: v + ri. В данном случае: v — действительное число, r — мнимая часть, i — мнимая единица.
Что такое объединение множеств?
Мы можем считать, что объединение множеств есть не что иное, как бинарная операция, которая производится над множеством всех внутренних множеств U. Под бинарной операцией понимают то, что зависит от оператора и двух аргументов для существования определенного расчет.
В этом смысле каждая пара множеств A и B, входящая в состав U, связана с другим множеством (AUB) из U. Таким образом, если A и B — два различных множества, объединение множеств выражается следующим образом: A={ Луис, Карлос}, B={Карла, Луиза, Паола}; AUB={Луис, Карлос, Карла, Луиза, Паола}.
Что такое пересечение множеств?
Пересечение множеств — это операция, которая переходит в другой набор с повторяющимися или частыми объектами из исходных наборов. В случае пересечения пустых множеств оно определяется как непересекающееся. В данном случае оно выражается следующим образом: S ∩ D = Ø.
Символ ∩ в этой операции отвечает на пересечение. Чтобы лучше понять, давайте посмотрим на следующий пример:
M= {Зеленый, Черный, Белый, Фиолетовый}.
J = {Черный, Зеленый, Розовый, Синий}.
В данном случае: M ∩ J = {зеленый, черный}, поскольку это объекты, которые повторяются в двух исходных наборах.
Какова общая разница?
Разность множеств — третья операция, являющаяся частью теории множеств. Она определяется как операция, позволяющая получить новый набор из объектов A, не содержащихся в B. Например:
А = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Б = {2, 4, 6, 8}.
Таким образом, разность наборов получается из элементов, которые являются частью набора A, но не являются частью набора B. В результате получается {10, 12, 14}.
Что такое дополнение набора?
Дополнение набора определяется как все объекты U, которые не являются частью набора. Другими словами, это набор, в котором есть элементы, не составляющие исходный набор. Чтобы лучше понять эту концепцию, важно знать используемые объекты или, наоборот, тип универсального множества.
Другими словами, если, например, мы говорим о простых числах , дополнительный набор — это набор непростых чисел. В то же время множество простых чисел является дополнением непростых чисел.
В чем симметричное различие между наборами?
Симметричная разность множеств — это множество, объекты которого входят в состав исходного множества, не имея при этом ничего общего с двумя другими множествами. Если мы проиллюстрируем эту операцию примером из теории множеств, мы получим следующее:
{1, 2, 3} и {2, 3, 4, 6, 9, 8} = симметричная разность будет {1, 4, 6, 9, 8}.
Что такое диаграмма Венна?
Все графики, являющиеся частью диаграммы Венна , выражаются непрерывной замкнутой линией. То есть овалы, треугольники, круги и другие. В общем, универсальное множество выражается в виде прямоугольника. Остальные множества выражаются геометрически кружками или овалами.
Важно иметь в виду, что эта диаграмма не требует каких-либо математических доказательств. Однако полезно иметь интуитивное представление о связи одного множества с другим.
Где применяется теория множеств?
Области применения теории множеств многочисленны. В основном он используется при формулировании геометрических логических основ. Однако у него есть и другие приложения, такие как топология . Вообще говоря, эта теория актуальна в науке, математике, физике, биологии, химии и даже технике.
Чтобы лучше понять математическую логику , необходимо хорошо знать этот элемент, теория множеств — одна из важнейших. Более того, как мы уже объясняли, оно имеет применение не только в математике.
Как мы говорим о теории множеств на повседневном языке?
Теория множеств — фундаментальная часть математики. Но это касается и сфер, которые скорее повседневные , чем оперативные. Другими словами, это не всегда числовые множества. В традиционном языке обращение к множеству немного сложнее.
Причина в том, что если мы хотим составить, например, группу наиболее значительных художников, восприятие будет различным. Поэтому консенсус практически невозможен . Короче говоря, определить, кто находится в группе, а кто нет, по их качествам не так-то просто.
Некоторые из этих конкретных наборов определены как пустые множества или не имеют элементов. Кроме того, мы можем иметь дело с наборами из одного элемента или единиц.
Какова история теории множеств?
Теория множеств возникает благодаря исследованиям немца Георга Кантора . Этот персонаж был известным математиком. Фактически, по сей день он известен как отец этой теории. Среди наиболее важных исследований исследователей — числовые и бесконечные множества.
Первое исследование Кантора, связанное с теорией множеств, было в 1874 году. Кроме того, важно отметить, что его работа оставалась связанной с исследованиями Ричарда Дедекинда , выдающегося математика того времени. Даже последний сыграл фундаментальную роль в изучении натуральных чисел.
Насколько важна теория множеств?
Изучение этой теории необходимо для анализа вероятности , математики во всем, что с ней связано, и статистики. Каждая из операций, входящих в эту теорию, используется для проведения экспериментов с целью получения конкретного результата.
Ответы всегда связаны с обстоятельствами, в которых проводится эксперимент. По этой причине множества играют фундаментальную роль в исследованиях этого типа.