Параметрические уравнения линии

На этой странице вы узнаете, как рассчитать параметрические уравнения любой прямой как из точки и вектора, так и из двух точек. Вы также узнаете, как получить различные точки на линии с помощью параметрических уравнений. Более того, вы сможете увидеть несколько примеров и попрактиковаться на решенных упражнениях.

Как найти параметрические уравнения линии

Для определения параметрических уравнений любой линии необходим только ее вектор направления и точка, принадлежащая линии.

Ага

$\vv{\text{v}}$

— вектор направления линии и

$P$

точка, принадлежащая правому:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Формула параметрического уравнения линии имеет вид:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Золото:

$x$

И

$y$

— декартовы координаты любой точки на прямой.
$P_1$

И

$P_2$

— координаты известной точки, которая является частью линии.
$\text{v}_1$

И

$\text{v}_2$

являются компонентами вектора направления прямой.
$t$

— скаляр (действительное число), значение которого зависит от каждой точки прямой.

Следовательно, параметрические уравнения — это способ аналитического выражения линии.

параметрические уравнения трехмерной линии

Это параметрические уравнения линии на плоскости, то есть при работе с точками и векторами 2-х координат (в R2). Однако если бы мы проводили расчеты в пространстве (в R3), нам пришлось бы добавить дополнительное уравнение для третьего компонента Z:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

С другой стороны, имейте в виду, что помимо параметрических уравнений существуют и другие способы математического описания линии: векторное уравнение, непрерывное уравнение, неявное (или общее) уравнение, явное уравнение и уравнение точечного наклона Алина. О том, что представляет собой каждый из них, вы можете узнать на нашем сайте.

Пример определения параметрических уравнений линии

Теперь посмотрим, как найти параметрические уравнения прямой на примере:

Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
$P$

и имеет

$\vv{\text{v}}$

как направляющий вектор:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

Для расчета параметрических уравнений линии нам необходимо применить ее формулу:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Поэтому подставляем в формулу координаты точки и вектор направления:

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

Получение точек из параметрических уравнений линии

После того как мы нашли параметрические уравнения линии, очень легко вычислить точки, через которые проходит линия. Чтобы определить точку на линии , необходимо указать значение параметра

$\bm{t}$

параметрические уравнения линии.

Например, даны следующие параметрические уравнения линии:

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

Мы можем получить точку на прямой, заменив

$t$

по любому номеру, например

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

И мы сможем вычислить еще одну точку на линии, если заменим переменную

$t$

по другому номеру, например

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

Следовательно, мы можем получить бесконечное количество точек на прямой, поскольку переменная

$t$

может принимать бесконечные значения.

Как рассчитать параметрические уравнения линии из двух точек

Другая типичная проблема с параметрическими уравнениями заключается в том, что они дают нам 2 точки, принадлежащие прямой, и на их основе нам приходится вычислять параметрические уравнения. Посмотрим, как она решается на примере:

Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через следующие две точки:

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

Как мы видели в разделах выше, чтобы найти параметрические уравнения линии, нам нужен ее вектор направления и точка на нем. У нас уже есть точка справа, но нам не хватает ее вектора направления. Поэтому сначала нам нужно вычислить вектор направления линии, а затем параметрические уравнения .

Чтобы найти вектор направления линии, просто вычислите вектор, определяемый двумя точками, указанными в выражении:

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

А поскольку мы также знаем вектор направления линии, чтобы найти ее параметрические уравнения, нам просто нужно применить формулу:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

В данном случае мы взяли точку А для определения параметрических уравнений, но правильно также записать их с другой точкой, которую они нам дают в формулировке:

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

Решенные задачи параметрических уравнений линии

Упражнение 1

Найдите параметрическое уравнение линии, вектор направления которой равен

$\vv{\text{v}}$

и проходит через точку

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

посмотреть решение

Чтобы найти параметрические уравнения линии, просто примените ее формулу:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

Упражнение 2

Рассчитайте две разные точки следующей линии, заданной параметрическими уравнениями:

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

посмотреть решение

Для получения точек из линии, выраженной параметрическими уравнениями, необходимо присвоить значения параметру

$t.$

Поэтому для расчета первой точки мы подставляем неизвестное

$t$

например, по

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

И чтобы найти вторую точку на прямой, мы даем

$t$

например, значение

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

Возможно, вы получили разные баллы, поскольку это зависит от значений, которые вы даете параметру.

$t.$

Но если вы проделали ту же процедуру, все в порядке.

Упражнение 3

Учитывая следующий момент:

$P(3,-1)$

Определите, принадлежит ли эта точка следующей прямой:

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

посмотреть решение

Чтобы проверить принадлежность точки линии, необходимо подставить ее координаты в уравнения линии и посмотреть, в каждом ли уравнении мы находим одинаковое значение параметра

$t.$

В таком случае это будет означать, что точка является частью линии, в противном случае это будет означать, что линия не проходит через эту точку.

Таким образом, подставляем координаты точки в параметрические уравнения линии:

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

И решаем два полученных уравнения:

координаты X

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

координаты Y

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

Мы получили два значения

$t$

разные, поэтому точка не находится на прямой.

Упражнение 4

Рассчитайте параметрические уравнения линии, проходящей через следующие две точки:

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

посмотреть решение

Для расчета параметрических уравнений линии нам необходимо знать ее вектор направления и одну из ее точек. В данном случае у нас уже есть точка на прямой, но нам не хватает ее вектора направления. Поэтому мы должны сначала рассчитать вектор направления линии, а затем параметрические уравнения.

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

И как только мы уже знаем вектор направления линии, чтобы найти ее параметрические уравнения, мы просто применяем формулу:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

В этом случае мы выбрали точку А для определения параметрических уравнений, но также допустимо записать их с другой точкой, которую они дают нам в утверждении:

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Приложения параметрических уравнений

Очевидно, что, как мы видели, основное применение параметрических уравнений — определение линий. Однако параметрические уравнения также используются для описания других типов геометрических элементов.

Например, любую окружность можно выразить параметрическими уравнениями. Ага

$r$

радиус круга и

$C(x_0,y_0)$

– координаты ее центра, параметризация окружности такова:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Аналогичным образом можно настроить и эллипс . Ага

$C(x_0,y_0)$

– координаты центра эллипса,

$a$

его горизонтальный радиус и

$b$

его вертикальный радиус, параметрические уравнения эллипса:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Аналогичным образом можно создать параметрическое представление других кривых, например параболы или даже гиперболы. Хотя мы не показываем их в этой статье, потому что они намного сложнее.

Наконец, план также можно определить с помощью параметрического выражения. Фактически параметрические уравнения плоскости таковы:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$