Типы разрывов

17 сентября, 2023

Здесь вы узнаете, какие виды разрывов существуют. Кроме того, вы сможете увидеть примеры всех типов разрывов и потренироваться на решенных упражнениях на типы разрывов функций.

Каковы все виды разрывов?

Различают три типа разрывов, а именно:

Преодолимый разрыв : Боковые пределы функции в точке не совпадают со значением функции.
Неизбежный разрыв конечного скачка : Боковые пределы функции в точке различны.
Неизбежный бесконечный скачок разрыва : один из боковых пределов функции дает бесконечность или не существует.

Чтобы завершить понимание концепций, мы объясним каждый тип разрыва более подробно и увидим примеры функций с тремя типами разрывов.

Преодолимые разрывы

Устранимый разрыв — это тип разрыва, который имеет функцию в точке, если граница существует в этой точке, но не совпадает со значением функции или не существует образа функции.

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)$

Боковые пределы этой функции равны между собой, но отличаются от значения функции в этой точке. Таким образом, функция представляет собой разрыв, которого можно избежать.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c$

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

предотвратимый разрыв функции без изображения

Функция в предыдущем примере имеет разрыв, которого можно избежать, поскольку боковые пределы при x=a имеют одно и то же значение, но образ функции в этой точке не существует.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)$

➤ См.: боковые пределы функции.

Неизбежный разрыв конечного скачка

Неизбежный разрыв с конечным скачком — это тип разрыва, который представляет функцию в точке, когда боковые пределы функции в этой точке не равны.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Например, боковые пределы следующей кусочно определенной функции в точке изменения определения различны, следовательно, функция имеет неизбежный конечный скачок в этой точке.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

Этот тип разрыва обычно возникает в функциях, определенных кусочно (или кусочно).

➤ См.: непрерывность кусочной функции.

Бесконечный прыжок, неизбежный разрыв

Неизбежный разрыв бесконечного скачка — это тип разрыва, который иногда имеет функцию, если один из боковых пределов в этой точке бесконечен или не существует.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty$

Левый предел следующей функции дает действительное число, а правый предел дает бесконечность. Таким образом, функция представляет собой неизбежный разрыв в виде бесконечного скачка.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Ниже вы можете увидеть график функции, два боковых предела которой дают бесконечность и, следовательно, функция имеет неизбежный бесконечный скачок.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

Этот тип разрыва обычно возникает в рациональных (или дробных) функциях .

Решенные упражнения по типам разрывов

Упражнение 1

Определим тип разрыва следующей кусочной функции в точке x=3:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x\leq 3 \\[2ex] 4x - 5 & \text{si} & x > 3 \end{array} \right.» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»65″ width=»232″ style=»vertical-align: 0px;»></p> </p> <div class=$

Посмотреть решение

Область определения первого элемента функции,

$-2x+1$

, как и во второй части,

$4x-5$

, все являются действительными числами, поскольку они являются полиномиальными функциями.

Таким образом, единственная точка, в которой функция может быть разрывной, — это точка остановки кусочной функции. Поэтому на этом этапе мы рассчитаем боковые пределы:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

Два боковых предела при x=3 дают разные результаты. Следовательно, точка x=3 является неизбежным конечным скачкообразным разрывом.

Упражнение 2

Найдите, какой тип разрыва представляет следующая рациональная функция в точках, не принадлежащих ее области определения:

$f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}$

Посмотреть решение

Логично, что для решения этого упражнения необходимо сначала найти область определения функции. Итак, поскольку это рациональная функция, примем знаменатель равным 0 и решим полученное уравнение:

$x+2=0$

$x=-2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

Таким образом, функция будет непрерывной во всех точках, кроме x=-2, поэтому давайте посмотрим, каким типом разрыва является точка x=-2. Для этого вычислим предел функции в точке:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2} = \cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{0}{0}$

Но мы получаем нулевую неопределенность между нулем, поэтому факторизуем многочлены числителя и знаменателя и упрощаем:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to -2} \cfrac{ (x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} =\lim_{x \to -2} (x-2)$

Теперь решаем предел:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} (x-2) =-2-2=-4$

Следовательно, предел функции в точке x=-2 существует и дает -4. Теперь проверим, существует ли он

$f(-2):$

$f(-2)=\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{4-4}{0} = \cfrac{0}{0} \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \ f(2)$

При вычислении образа функции неопределенность 0/0 не может быть упрощена и не имеет решения. ТАК

$f(-2)$

не существует.

В заключение отметим, что предел функции при x=-2 существует, но

$f(-2)$

Нет. Следовательно, x=-2 — это разрыв, которого можно избежать.

Упражнение 3

Проанализируйте непрерывность следующей рациональной функции:

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

Посмотреть решение

Чтобы убедиться, что это непрерывная функция, мы должны сначала вычислить ее область определения. Поэтому мы приравниваем знаменатель рациональной функции к нулю, чтобы увидеть, какие точки не принадлежат области определения:

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

Таким образом, функция будет непрерывной во всех точках, кроме x=5. Итак, давайте посмотрим, какой тип разрыва x = 5, рассчитав предел в этой точке:

$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{2}{x-5} = \frac{2}{5-5} = \frac{2}{0} = \infty$

Мы оказываемся с неопределенностью числа, деленного на 0. Поэтому вычисляем боковые пределы функции при x=5:

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{-}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{4,999-5}=\frac{2}{-0}= \bm{-\infty}$

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{+}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{5,001-5}=\frac{2}{+0}=\bm{+\infty}$

Левый предел функции при x=5 дает минус бесконечность, а правый предел дает плюс бесконечность. Следовательно, функция имеет неизбежный бесконечный скачок при x = 5, поскольку хотя бы один боковой предел в этой точке стремится к бесконечности.

Упражнение 4

Определите все разрывы кусочной функции, показанной на следующем графике:

Посмотреть решение

Чтобы нарисовать функцию, необходимо поднять карандаш в точках x=-2, x=1 и x=4. Следовательно, функция разрывна в этих трех точках.

При x=-2 левый предел равен +∞, а правый предел равен 3. Таким образом, поскольку один из боковых пределов бесконечен, функция имеет неизбежный бесконечный скачок при x=-2.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

Предел функции при x=1 равен 0, и, с другой стороны, значение функции при x=1 равно 2. Таким образом, функция представляет собой разрыв, которого можно избежать при x=1.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(1) = 2$

При x = 4 левый предел равен -3, а правый предел равен 1. Следовательно, поскольку два боковых предела различны и ни один из них не дает бесконечности, функция неизбежно имеет конечный скачок при x = 4.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

Упражнение 5

Найдите все асимптоты и разрывы функции, представленной на следующем графике:

решаемое упражнение на типы разрывов функции

Посмотреть решение

Асимптоты

Функция находится очень близко к вертикальной линии x=3, но никогда не касается ее. Кроме того, левый боковой предел при x=3 равен +∞, а правый боковой предел равен -∞. Следовательно, x=3 является вертикальной асимптотой.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

То же самое происходит и с горизонтальной линией y=-1: функция очень близко подходит к y=-1, но никогда ее не пересекает. Кроме того, предел функции при приближении x к +∞ и -∞ равен -1. Следовательно, y=-1 является горизонтальной асимптотой.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-1 \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$

разрывы

При x=6 функция прерывается, поскольку имеется открытая точка. Предел при приближении x к 6 составляет -1,4, но f(6)=1. Таким образом, функция имеет разрыв, которого можно избежать при x=6, поскольку значение предела не совпадает со значением функции:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

При x=-3 боковые пределы не совпадают и ни один из них не дает бесконечности. Таким образом, функция имеет неизбежный конечный скачок при x=-3.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

И, наконец, функция имеет неизбежный бесконечный скачок при x = 3, поскольку хотя бы один боковой предел в этой точке приводит к бесконечности.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

Каковы все виды разрывов?

Преодолимые разрывы

Неизбежный разрыв конечного скачка

Бесконечный прыжок, неизбежный разрыв

Решенные упражнения по типам разрывов

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Упражнение 5

Оставьте комментарий Отменить ответ