Точка, симметричная относительно другой точки, прямой и плоскости

Здесь вы узнаете, как вычислить точку симметрии относительно другой точки, относительно прямой и относительно плоскости. Кроме того, вы сможете увидеть примеры и упражнения, решаемые шаг за шагом.

Точка, симметричная другой точке

Прежде чем мы посмотрим, как рассчитывается симметричная точка, давайте рассмотрим, что такое симметричная точка относительно другой точки:

Точка А’ является точкой, симметричной точке А относительно другой точки М, если точка А’ расположена симметрично на том же расстоянии от точки М, что и расстояние между точками А и М. Следовательно, М – это середина отрезка, образованного точки А и А’.

$d(A,M) = d(A',M )$

С другой стороны, мы также говорим, что точка М является центром симметрии.

Итак, для расчета координат точки симметрии воспользуемся формулой середины отрезка :

$\cfrac{A+A'}{2}=M$

Из этого уравнения извлекаем неизвестную точку А’ и получаем формулу для точки, симметричной относительно другой точки:

$\color{orange} \boxed{ \color{black} \quad A' = 2M - A \quad \vphantom{\Bigl)}}$

Пример нахождения точки, симметричной относительно другой точки

В качестве примера вычислим точку симметрии точки А относительно точки М. Рассмотрим две точки:

$A(1,3,0) \qquad \qquad M(-1,4,2)$

Для определения точки симметрии между этими двумя точками применим формулу точки симметрии относительно другой:

$A' = 2M - A$

Теперь заменим точки в формуле:

$A' = 2(-1,4,2) -(1,3,0)$

И мы работаем:

$A' = (-2,8,4) -(1,3,0)$

$\bm{A'=(-3,5,4)}$

точка, симметричная прямой линии

Мы только что рассмотрели понятие точки, симметричной относительно другой точки. Ну, симметричность точки относительно линии очень похожа:

Точка А’ является точкой, симметричной точке А относительно прямой, если две точки А’ и А лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой, и при этом расстояние между точкой А’ и прямой равно расстоянию между точкой А и линией.

симметричная точка точки относительно прямой

$d(A,r)= d(A',r)$

Таким образом, линия r также является осью симметрии между точками.

Таким образом, для определения точки симметрии точки А относительно прямой r необходимо выполнить следующую процедуру:

Находим плоскость, перпендикулярную прямой r , проходящей через точку А (плоскость π предыдущего графического изображения). Для этого мы должны использовать вектор направления линии, который будет вектором нормали к плоскости.
Вычисляем точку пересечения найденной плоскости и прямой (точка М на предыдущем изображении).
Мы используем формулу симметричности точки относительно точки (см. раздел выше), чтобы найти симметричную точку точки A относительно точки M. Результатом является симметричная точка, которую мы искали.

Пример расчета точки симметрии относительно прямой

Как только мы узнаем, как вычислить точку симметрии другой точки относительно прямой, мы увидим в качестве примера решенное упражнение:

Найдите точку, симметричную точке А относительно прямой r. Как говорится, точка и линия:

$\displaystyle A(4,0,-1) \qquad \qquad r: \ \begin{cases}x=1 + t \\[1.7ex] y=5 +4t\\[1.7ex] z=-4-3t \end{cases}$

Сначала нам нужно вычислить плоскость, перпендикулярную прямой r, проходящей через точку А. Вектором, нормальным к этой плоскости, будет вектор направления линии, компонентами которого являются слагаемые перед параметром

$t$

поскольку оно выражается в виде параметрических уравнений:

$\vv{n}=(1,4,-3)$

А коэффициенты А, В и С уравнения плоскости совпадают с координатами ее вектора нормали, следовательно:

$\vv{n}=(1,4,-3) \quad \longrightarrow \quad \pi : \ 1x+4y-3z+D=0$

Точка А должна лежать в этой плоскости, поэтому теперь мы можем подставить точку А в уравнение плоскости, чтобы найти коэффициент D:

$A(4,0,-1)$

$4+4\cdot 0-3\cdot (-1)+D=0$

$4+3+D=0$

$7+D=0$

$D=-7$

Итак, уравнение плоскости, перпендикулярной прямой ry, проходящей через точку А, имеет вид:

$\pi : \ x+4y-3z-7=0$

Зная уравнение плоскости, нам нужно вычислить точку пересечения плоскости и прямой. Для этого подставляем координаты прямой в уравнение плоскости и решаем полученное уравнение:

$\displaystyle r: \ \begin{cases}x=1 + t \\[1.7ex] y=5 +4t\\[1.7ex] z=-4-3t \end{cases} \qquad \qquad \pi : \ x+4y-3z-7=0$

$(1+t)+4(5+4t)-3(-4-3t)-7=0$

$1+t+20+16t+12+9t-7=0$

$26t+26=0$

$26t=-26$

$t=\cfrac{-26}{26}$

$t=-1$

Теперь заменим значение

$t$

полученное в уравнении линии:

$\displaystyle t=-1 \ \longrightarrow \ \begin{cases}x=1 -1=0 \\[1.7ex] y=5 +4\cdot (-1)=1\\[1.7ex] z=-4-3\cdot (-1)=-1 \end{cases}$

Итак, точка пересечения прямой r и перпендикулярной ей плоскости равна:

$M(0,1,-1)$

Наконец, достаточно найти точку, симметричную точке А относительно точки М; для этого мы можем использовать формулу, представленную в начале этой страницы:

$\begin{aligned} A' & = 2M - A \\[2ex] &= 2(0,1,-1) - (4,0,-1) \\[2ex] & = (0,2,-2)-(4,0,-1)\\[2ex] & = \bm{(-4,2,-1)} \end{aligned}$

точка, симметричная плоскости

Прежде чем рассмотреть метод определения точки симметрии другой точки относительно плоскости, давайте посмотрим, каково ее определение:

Точка А’ является точкой, симметричной точке А относительно плоскости, если две точки А’ и А лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости, и при этом расстояние между точкой А’ и плоскостью эквивалентно расстоянию между точкой А и плоскостью.

точка, симметричная другой точке относительно плоскости

$d(A,\pi)= d(A',\pi)$

Таким образом, плоскость также является плоскостью симметрии между двумя точками.

Таким образом, чтобы узнать декартовы координаты симметричной точки А относительно плоскости π, необходимо выполнить следующие шаги:

Найдем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости, проходящей через точку А. Для этого в качестве направляющего вектора прямой будем использовать вектор нормали к плоскости.
Вычисляем точку пересечения плоскости и найденной прямой (точка М предыдущего изображения).
Мы используем формулу симметричности точки относительно точки (см. в начале раздела), чтобы найти симметричную точку точки A относительно точки M. Результатом является симметричная точка, которую мы искали.

Пример определения точки симметрии относительно плоскости

Ниже вы можете увидеть решенную задачу относительно точки симметрии другой точки относительно плоскости:

Определить точку симметрии A относительно плоскости π. Сказав точку и план:

$\displaystyle A(3,-4,2) \qquad \qquad \pi: \ 2x+y-z-6=0$

Первое, что нам нужно сделать, это найти уравнение линии, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку А. Для этого мы можем использовать вектор нормали к плоскости в качестве вектора направления линии, компоненты которой X, Y, Z — коэффициенты при слагаемых A, B и C соответственно уравнения плоскости:

$\pi: \ 2x+y-z-6=0 \quad \longrightarrow \quad \vv{n} = (2,1,-1)$

Теперь мы можем построить параметрические уравнения прямой, ортогональной плоскости, с найденным вектором направления и одной из его точек (точки А):

$\displaystyle r: \ \begin{cases}x=3 + 2t \\[1.7ex] y=-4 +t\\[1.7ex] z=2-t \end{cases}$

Зная перпендикуляр, мы вычисляем точку пересечения плоскости и прямой, подставляя координаты прямой в уравнение плоскости:

$\displaystyle r: \ \begin{cases}x=3 + 2t \\[1.7ex] y=-4 +t\\[1.7ex] z=2-t \end{cases} \qquad \qquad \pi : \ 2x+y-z-6=0$

$2(3+2t)+(-4+t)-(2-t)-6=0$

$6+4t-4+t-2+t-6=0$

$6t-6=0$

$6t=6$

$t=\cfrac{6}{6}$

$t=1$

Теперь заменим значение

$t$

полученное в уравнении линии:

$\displaystyle t=1 \ \longrightarrow \ \begin{cases}x=3 + 2\cdot 1 =5\\[1.7ex] y=-4 +1=-3\\[1.7ex] z=2-1=1 \end{cases}$

Итак, точка пересечения плоскости и перпендикуляра равна:

$M(5,-3,1)$

Наконец, нам просто нужно найти точку, симметричную точке А относительно точки М. И для этого мы можем использовать формулу, представленную в начале этой страницы:

$\begin{aligned} A' & = 2M - A \\[2ex] &= 2(5,-3,1) - (3,-4,2) \\[2ex] & = (10,-6,2)-(3,-4,2)\\[2ex] & = \bm{(7,-2,0)} \end{aligned}$