▷ Производная котангенса (формула и примеры)

В этой статье мы увидим, как найти котангенс функции. Вы найдете примеры производной котангенса и даже упражнения, решаемые шаг за шагом. Наконец, докажем формулу для производной котангенса.

Формула производной котангенса

Производная котангенса x равна отрицательной единице по квадрату синуса x. Производная котангенса x также равна минус квадрату косеканса x и минус сумме единицы плюс квадрат котангенса x.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(x)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{1}{\text{sen}^2(x)}=-\text{cosec}^2(x)=-\left(1+\text{cotg}^2(x)\right)\end{array}$

Если котангенс аргумента является функцией, отличной от x, формулы для производной котангенса функции такие же, как и предыдущие, но с умножением выражений на производную функции аргумента.

$\begin{array}{c}f(x)=\text{cotg}(u)\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\color{black}\\ f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}=-u' \cdot \text{cosec}^2(u)=-u' \cdot \left(1+\text{cotg}^2(u)\right)\end{array}$

Это означает, что существуют три разные формулы для нахождения производной котангенса. Но, по логике вещей, необязательно использовать все три формулы, а можно вывести по той формуле, которая вам больше нравится.

Примеры производной котангенса

Теперь, когда мы увидели формулу производной котангенса функции, в этом разделе мы решим несколько примеров тригонометрических производных этого типа.

Пример 1: Производная котангенса 2x

В этом примере мы увидим, чему равна производная котангенса функции 2x.

$f(x)=\text{cotg}(2x)$

Как мы видели, для расчета производной котангенса можно использовать одну из трех формул, представленных выше. В данном случае воспользуемся формулой синусоиды:

$f(x)=\text{cotg}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}$

Поскольку 2x является членом первой степени, его производная равна 2. Таким образом, производная котангенса 2x равна минус двум, разделенным на квадрат синуса 2x:

$f(x)=\text{cotg}(2x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2}{\text{sen}^2(2x)}$

Пример 2: Производная котангенса x в квадрате

Во втором примере мы определим, чему равна производная котангенса x в квадрате.

$f(x)=\text{cotg}(x^2)$

В этом примере функция аргумента котангенса не является x, поэтому мы должны применить правило цепочки, чтобы дифференцировать котангенс.

$f(x)=\text{cotg}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\text{sen}^2(u)}$

Производная x в квадрате равна 2x, поэтому производная котангенса x ² равна:

$f(x)=\text{cotg}(x^2)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{\text{sen}^2(x^2)}$

Пример 3: Производная котангенса в кубе

Наконец, найдем, чему равна производная куба котангенса полиномиальной функции:

$f(x)=\text{cotg}^3(x^5-6x^2+10)$

В данном случае мы имеем композицию функций, поэтому нам нужно использовать цепное правило с формулой производной степени, чтобы найти производную котангенса:

$\displaystyle f'(x)=-3\cdot\text{cotg}^2(x^5-6x^2+10)\cdot\frac{5x^4-12x}{\text{sen}^2(x^5-6x^2+10)}$

Решенные упражнения на производную котангенса

Вычислите производную следующих котангенсов:

$\text{A) } f(x)=\text{cotg}(5x)$

$\text{B) } f(x)=\text{cotg}(2x^4+10x-3)$

$\text{C) } \displaystyle f(x)=\text{cotg}^5\left(\frac{x}{2}\right)$

$\text{D) } f(x)=\text{cotg}\left(e^{x^2}\right)$

$\text{E) } f(x)=\text{cotg}\bigl(\ln(x^2)\bigr)$

$\text{F) } f(x)=\text{cotg}\left(\sqrt{8x}\right)$

Посмотреть решение

$\text{A) } f'(x)=-\cfrac{5}{\text{sen}^2(5x)}$

$\text{B) } f'(x)=-\cfrac{8x+10}{\text{sen}^2(2x^4+10x-3)}$

$\text{C) } \displaystyle f'(x)=5\cdot \text{cotg}^4\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{\text{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right)}\right)\cdot \frac{1}{2}=-\frac{5\cdot \text{cotg}^4\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cdot \text{sen}^2\left(\frac{x}{2}\right)}$

$\text{D) } f'(x)=-\cfrac{2x\cdot e^{x^2}}{\text{sen}^2(e^{x^2})}$

$\text{E) } f'(x)=-\cfrac{\cfrac{2x}{x^2}}{\text{sen}^2\bigl(\ln(x^2)\bigr)}=-\cfrac{2}{x\cdot\text{sen}^2\bigl(\ln(x^2)\bigr)}$

$\text{F) } f'(x)=-\cfrac{\frac{8}{2\sqrt{8x}}}{\text{sen}^2\left(\sqrt{8x}\right)}=-\cfrac{4}{\sqrt{8x}\cdot \text{sen}^2\left(\sqrt{8x}\right)}$

Доказательство производной котангенса

В этом последнем разделе мы продемонстрируем формулу производной котангенса. Для этого начнем с математического определения котангенса, который равен косинусу, разделенному на синус:

$\text{cotg}(x)=\cfrac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}$

Теперь дифференцируем функцию, применив правило для производной частного;

$\displaystyle\bigl(\text{cotg}(x)\bigr)'=\left(\frac{\text{cos}(x)}{\text{sen}(x)}\right)'$

$\text{cotg}'(x)=\cfrac{-\text{sen}(x)\cdot \text{sen}(x)-\text{cos}(x)\cdot \text{cos}(x) }{\text{sen}^2(x)}$

$\text{cotg}'(x)=\cfrac{-\text{sen}^2(x)-\text{cos}^2(x)}{\text{sen}^2(x)}$

Берем общий множитель в знаменателе и убираем отрицательный знак из дроби:

$\text{cotg}'(x)=\cfrac{-\bigl(\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)\bigr)}{\text{sen}^2(x)}$

$\text{cotg}'(x)=-\cfrac{\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)}{\text{sen}^2(x)}$

С другой стороны, мы знаем, что квадрат синуса плюс квадрат косинуса равен единице благодаря фундаментальному тригонометрическому тождеству.

$\text{sen}^2(x)+\text{cos}^2(x)=1$

$\text{cotg}'(x)=-\cfrac{1}{\text{sen}^2(x)}$

И мы таким образом получили первую формулу для производной котангенса. Аналогично, косеканс является мультипликативной инверсией синуса, поэтому второе правило производной котангенса также доказано:

$\text{cotg}'(x)=-\text{sec}^2(x)$

Наконец, третью формулу производной этой тригонометрической функции можно доказать, превратив дробь из предыдущего шага в сумму дробей: