Производная гиперболической косекансной дуги

В этой статье мы объясним, как получить гиперболический арккосеканс функции. Вы также найдете рабочие примеры производной гиперболического арккосеканса.

Формула производной гиперболической косекансной дуги

Производная дугового гиперболического косеканса x равна минус 1, деленной на произведение x, умноженное на корень из единицы плюс x в квадрате.

f(x)=\text{arccsch}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-1}{x\sqrt{1+x^2}}

Следовательно, производная дугового гиперболического косеканса функции равна минус производной указанной функции, деленной на произведение функции, умноженное на корень из единицы, плюс квадрат функции.

f(x)=\text{arccsch}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1+u^2}}

Вкратце, формула для расчета производной гиперболической функции арккосеканса выглядит следующим образом:

производная гиперболической косекансной дуги

Хоть мы и привели две формулы, это не значит, что они разные. Если присмотреться, вторая формула аналогична первой, но с применением правила цепочки.

Примеры производной гиперболической косекансной дуги

Учитывая формулу производной косеканса гиперболической дуги, мы затем выведем две такие функции, чтобы вы могли увидеть, как это делается.

Пример 1

f(x)=\text{arccsch}(3x)

В этом упражнении мы должны использовать формулу производной гиперболического косеканса дуги с цепным правилом, поскольку в аргументе присутствует функция, отличная от x:

f(x)=\text{arccsch}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1+u^2}}

Итак, чтобы найти производную, нам нужно заменить u на 3x, а u’ на ее производную, которая равна 3:

f(x)=\text{arccsch}(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-3}{3x\sqrt{1+(3x)^2}}=\cfrac{-3}{3x\sqrt{1+9x^2}}

Пример 2

f(x)=\text{arccsch}(x^5-2x^3)

В этом случае у нас есть полиномиальная функция в аргументе гиперболического арккосеканса, поэтому нам также нужно использовать цепное правило для ее получения:

f(x)=\text{arccsch}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1+u^2}}

Поэтому в числитель дроби ставим производную функции аргумента, а в знаменателе меняем u на полиномиальную функцию:

\begin{aligned}f(x)=\text{arccsch}(x^5-2x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}f'(x)&=\cfrac{-(5x^4-6x^2)}{(x^5-2x^3)\sqrt{1+(x^5-2x^3)^2}}\\[1.5ex] &=\cfrac{-5x^4+6x^2}{(x^5-2x^3)\sqrt{1+(x^5-2x^3)^2}}\end{aligned}

Похожие товары

  • Производная гиперболического арккосинуса
  • Производная гиперболического косеканса
  • Производная гиперболического косинуса
  • Производная косекансной дуги
  • полученное из косеканса
  • Производная арккосинуса
  • производная косинуса

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Прокрутить вверх