Ортогональная матрица

На этой странице вы увидите, что такое ортогональные матрицы и как они связаны с обратной матрицей. Вы также увидите несколько примеров, чтобы лучше понять это. Кроме того, мы научим вас формуле проверки любой ортогональной матрицы, с помощью которой вы сможете быстро ее найти. И, наконец, вы найдете свойства и применение этих конкретных матриц, а также типичное решение экзаменационного упражнения.

Что такое ортогональная матрица?

Определение ортогональной матрицы следующее:

Ортогональная матрица — это квадратная матрица действительных чисел, умноженная на ее транспонирование (или транспонирование), равна единичной матрице. То есть выполняется следующее условие:

$A\cdot A^t = A^t \cdot A =I$

Золото

$A$

является ортогональной матрицей и

$A^t$

представляет его транспонированную матрицу.

Чтобы это условие выполнялось, столбцы и строки ортогональной матрицы должны быть ортогональными единичными векторами, то есть они должны образовывать ортонормированный базис. По этой причине некоторые математики также называют их ортонормированными матрицами .

Обратная ортогональная матрица

Другой способ объяснить понятие ортогональной матрицы — через обратную матрицу, поскольку транспонированная (или транспонированная) матрица ортогональной матрицы равна ее обратной.

Чтобы полностью понять эту теорему, важно знать, как инвертировать матрицу . По этой ссылке вы найдете подробное объяснение обратной матрицы, всех ее свойств и даже пошаговые решения упражнений для практики.

Можно легко показать, что обратная матрица ортогональной матрицы эквивалентна ее транспонированию, используя условие ортогональной матрицы и основное свойство обратных матриц:

$\left.\begin{array}{c} A \cdot A^t =I \\[2ex] A \cdot A^{-1} = I\end{array} \right\} \longrightarrow \ A^t=A^{-1}$

Следовательно, ортогональная матрица всегда будет обратимой матрицей , или, другими словами, это будет регулярная или невырожденная матрица.

Далее мы увидим несколько примеров ортогональных матриц, чтобы завершить понимание концепции всего.

Пример ортогональной матрицы 2×2

Следующая матрица является ортогональной матрицей размерности 2×2:

Мы можем проверить, что оно ортогонально, вычислив произведение путем его транспонирования:

$\displaystyle A\cdot A^t$

$\displaystyle A\cdot A^t= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}$

Поскольку результат дает идентичную матрицу, мы проверяем, что A является ортогональной матрицей.

Пример ортогональной матрицы 3×3

Следующая матрица является ортогональной матрицей размерности 3×3:

Мы можем показать, что она ортогональна, умножив матрицу A на ее транспонирование:

$\displaystyle A\cdot A^t = \begin{pmatrix}0.8&0.6&0\\[1.1ex] -0.6&0.8&0\\[1.1ex] 0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0.8&-0.6&0\\[1.1ex] 0.6&0.8&0\\[1.1ex] 0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0&0&1\end{pmatrix}$

Поскольку решением является унитарная матрица, мы покажем, что A — ортогональная матрица.

Формула нахождения ортогональной матрицы 2×2

Затем мы увидим доказательство того, что все ортогональные матрицы порядка 2 следуют одному и тому же шаблону.

Рассмотрим общую матрицу размера 2×2:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

Чтобы эта матрица была ортогональной, должно выполняться следующее матричное уравнение:

$\displaystyle A\cdot A^t =I$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & c \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}$

Решая умножение матриц, получаем следующие уравнения:

$\displaystyle \begin{pmatrix} a^2+b^2 & ac+bd \\[1.1ex] ac+bd & c^2+d^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{array}{c}a^2+b^2=1 \\[2ex] ac+bd=0 \\[2ex] c^2+d^2=1 \end{array} \qquad \begin{array}{l} (1) \\[2ex] (2) \\[2ex] (3) \end{array}$

Если присмотреться, эти равенства очень похожи на фундаментальное тригонометрическое соотношение Пифагора :

$\displaystyle \sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha=1$

Следовательно, членами, удовлетворяющими полученным уравнениям (1) и (3), являются:

$\displaystyle \begin{array}{l} a = \cos \theta \qquad \qquad \qquad c = \sin\phi \\[2ex] b = \sin \theta \qquad \qquad \qquad d = \cos \phi\end{array}$

Дополнительно, подставив значения во второе уравнение, получим связь между двумя углами:

$\displaystyle ac+bd=0$

$\displaystyle \cos\theta\sin\phi+\sin\theta\cos\phi=0$

$\displaystyle \tan\phi=-\tan\theta$

То есть должно быть выполнено одно из следующих двух условий:

$\displaystyle \text{si} \quad c=\sin\phi=-\sin\theta \quad \longrightarrow \quad d=\cos\phi=\cos\theta$

$\displaystyle \text{si} \quad d=\cos \phi=-\cos \theta \quad \longrightarrow \quad c=\sin\phi=\sin\theta$

Итак, в заключение, ортогональные матрицы должны иметь структуру одной из следующих двух матриц:

формула для ортогональной матрицы размерности 2х2

Золото

$\theta$

это действительное число.

Действительно, если в качестве примера мы присвоим значение

$\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}$

и возьмем первую структуру, мы получим матрицу, ортогональность которой мы проверили в разделе «Пример ортогональной матрицы 2 × 2»:

$\displaystyle M_1 \left(\theta =\frac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix} \cos \cfrac{\pi}{2} &\sin \cfrac{\pi}{2} \\[4ex] -\sin \cfrac{\pi}{2} & \cos \cfrac{\pi}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{\pi}{2}}0 &1 \\[2ex]\vphantom{\frac{\pi}{2}} -1 & 0 \end{pmatrix}$

Свойства ортогональной матрицы

Характеристики этого типа матрицы:

Ортогональная матрица никогда не может быть сингулярной матрицей , поскольку ее всегда можно инвертировать. В этом смысле инверсия ортогональной матрицы — это другая ортогональная матрица.

Любую ортогональную матрицу можно диагонализовать. Тогда мы говорим, что ортогональные матрицы ортогонально диагонализуемы.

Все собственные значения или собственные значения ортогональной матрицы имеют модуль, равный 1.

Любая ортогональная матрица, состоящая только из действительных чисел, также является нормальной матрицей.

Аналогом ортогональной матрицы в среде с комплексными числами является унитарная матрица.

Очевидно, что единичная матрица является ортогональной матрицей.

Набор ортогональных матриц размерности n × n, а также операция матричного произведения образуют группу, называемую ортогональной группой. То есть произведение двух ортогональных матриц равно другой ортогональной матрице.

Кроме того, результат умножения ортогональной матрицы на ее транспонирование может быть выражен дельтой Кронекера:

$\displaystyle (A\cdot A^{t})_{ij} = \delta_{ij}=\begin{cases}1 & \mbox{si }i = j, \\[2ex] 0 & \mbox{si }i \ne j\end{cases}$

Наконец, определитель ортогональной матрицы всегда равен +1 или -1.

$\displaystyle \text{det}(A)=\pm 1$

Решенное упражнение с ортогональными матрицами

Затем мы решим упражнение с ортогональными матрицами.

По следующей квадратной матрице третьего порядка найдите значения
$a$

И

$b$

чтобы сделать его ортогональным:

$\displaystyle A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&a&1\\[1.1ex] b&1&b\\[1.1ex] 1&a&a\end{pmatrix}$

Чтобы ортогональность матрицы была соблюдена, произведение матрицы на ее транспонирование должно быть равно единичной матрице. ТАК:

$\displaystyle A\cdot A^t = I$

$\displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&a&1\\[1.1ex] b&1&b\\[1.1ex] 1&a&a\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&b&1\\[1.1ex] a&1&a\\[1.1ex] 1&b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\[1.1ex] 0&1&0\\[1.1ex] 0&0&1\end{pmatrix}$

Перемножаем матрицы:

$\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}2a^2+1&ab+a+b&2a+a^2\\[1.5ex] ab+a+b&2b^2+1&b+a+ab\\[1.5ex] 2a+a^2&b+a+ab&1+2a^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&0\\[1.5ex] 0&1&0\\[1.5ex] 0&0&1\end{pmatrix}$

Теперь мы можем получить уравнение из верхнего левого угла матриц, поскольку элементы в этой позиции должны совпадать. Еще:

$\displaystyle \frac{1}{9}(2a^2+1) = 1$

Решаем уравнение и исключаем неизвестное:

$\displaystyle 2a^2+1 = 9$

$\displaystyle 2a^2 = 8$

$\displaystyle a^2 = 4$

$\displaystyle \bm{a = \pm 2}$

Однако есть уравнения, которые не имеют положительного решения, например уравнение в правом верхнем углу. Поэтому возможно только отрицательное решение .

С другой стороны, чтобы вычислить переменную

$b$

мы можем сопоставить, например, термины, помещенные во вторую строку первого столбца:

$\displaystyle \frac{1}{9}(ab+a+b) = 0$

$\displaystyle ab+a+b = 0$

Заменив значение

$a$

в уравнении:

$\displaystyle -2b-2+b = 0$

$\displaystyle -b =2$

$\displaystyle \bm{b =-2}$

Короче говоря, единственное возможное решение:

$\displaystyle \bm{a=b =-2}$

Итак, ортогональная матрица, соответствующая этим значениям:

$\displaystyle A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-2&-2&1\\[1.1ex] -2&1&-2\\[1.1ex] 1&-2&-2\end{pmatrix}$

Приложения ортогональных матриц

Хотя это может показаться не так, поскольку обычно они имеют очень простую форму, ортогональные матрицы очень важны в математике, особенно в области линейной алгебры.

В геометрии ортогональные матрицы представляют собой изометрические преобразования (которые не меняют расстояния и углы) в действительных векторных пространствах, поэтому их называют ортогональными преобразованиями. Более того, эти преобразования являются внутренними изоморфизмами рассматриваемого векторного пространства. Этими преобразованиями могут быть вращения , зеркальные отражения или инверсии .

Наконец, этот тип матрицы также используется в физике, поскольку позволяет изучать движение твердых тел. И они даже используются при формулировании некоторых теорий поля.