Параллельные векторы — множественность

На этой странице вы найдете все о параллельных векторах: что они означают, когда два вектора параллельны, как найти вектор, параллельный другому вектору, свойства этого типа векторов… Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеры и решения параллельных векторных упражнений.

Что такое параллельные векторы?

Параллельные векторы – это векторы, имеющие одинаковое направление. Другими словами, два вектора параллельны, если они содержатся в двух параллельных прямых. Следовательно, два параллельных вектора составляют между собой угол 0 или 180 градусов.

Например, следующие три вектора параллельны:

При этом параллельность двух векторов зависит только от их направления. То есть два вектора будут параллельны, если они совпадают по направлению, независимо от того, имеют ли они одинаковое или противоположное направление. И то же самое происходит с модулем (или величиной), два вектора могут иметь разные модули и быть параллельными.

С другой стороны, когда два вектора имеют одинаковое, но противоположное направление, их называют антипараллельными векторами .

Как узнать, параллельны ли два вектора?

Два вектора параллельны, если они пропорциональны. Следовательно, чтобы узнать, параллельны ли два вектора, нам нужно определить, пропорциональны ли их соответствующие компоненты или нет.

Мы увидим, как узнать, параллельны ли два вектора, с помощью двух разных решаемых упражнений: одно с векторами с двумя координатами, а другое с векторами с тремя координатами.

Пример векторов, параллельных плоскости (в R2)

Определите, параллельны ли следующие два вектора:

$\vv{\text{u}}=(-2,4) \qquad\vv{\text{v}}=(1,-2)$

Чтобы узнать, действительно ли они являются параллельными векторами, мы должны увидеть, пропорциональны ли их декартовы координаты:

$\cfrac{-2}{1} = \cfrac{4}{-2} = -2$

Разделение компонентов X и компонентов Y между ними дает один и тот же результат (-2), поэтому два вектора пропорциональны и, следовательно, также параллельны .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}}$

Обратите внимание, что в математике, когда два геометрических элемента параллельны, это обозначается двумя вертикальными чертами (II).

Пример параллельных векторов в пространстве (в R3)

Найдите, выполняется ли условие параллельности в следующих двух векторах:

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2) \qquad\vv{\text{v}}=(2,6,4)$

Чтобы определить, действительно ли это параллельные векторы, мы должны проверить, пропорциональны ли координаты векторов:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6} = 0,5 \neq \cfrac{-2}{4} = -0,5$

Компоненты X и компоненты Y векторов пропорциональны друг другу, поскольку, разделив их, мы получаем один и тот же результат, с другой стороны, они не пропорциональны компоненту Z. Следовательно, векторы не все пропорциональны и, следовательно, не параллельны .

$\vv{\text{u}} \ \cancel{\parallel} \ \vv{\text{v}}$

Как вычислить параллельный вектор?

Чтобы найти вектор, параллельный другому вектору, просто умножьте его на скаляр (действительное число), отличный от нуля (0). Следовательно, существует бесконечное количество векторов, параллельных друг другу, поскольку вектор можно умножить на бесконечное количество чисел.

Например, мы вычислим несколько параллельных векторов следующего вектора:

$\vv{\text{v}}=(2,4)$

Результатом всех следующих произведений являются векторы, параллельные предыдущему вектору:

$2\vv{\text{v}}=(4,8)$

$3\vv{\text{v}}=(6,12)$

$-1\vv{\text{v}}=(-2,-4)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\vv{\text{v}}=(1,2)$

Свойства параллельных векторов

Параллельные векторы имеют следующие характеристики:

Рефлексивное свойство : каждый вектор параллелен сам себе.

$\vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{v}}$

Свойство симметричности : если один вектор параллелен другому, то этот вектор также параллелен первому. Этим свойством обладают и перпендикулярные векторы .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{u}}$

Транзитивное свойство : если вектор параллелен другому вектору, а этот второй вектор параллелен третьему вектору, то первый вектор также параллелен третьему вектору.

$\left. \begin{array}{c} \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \\[2ex] \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}} \end{array} \right\} \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{w}}$

Скалярное произведение двух параллельных векторов равно произведению их модулей. Вы можете проверить, почему происходит именно это, в свойствах скалярного произведения .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert$

Два параллельных вектора всегда линейно зависимы. Это понятие весьма важно, поэтому, если вы его не знаете, вы можете сослаться на то, что такое два линейно зависимых вектора .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ LD$