Корни комплексных чисел

Вычислить корни комплексных чисел довольно просто. Что ж, как только вы поймете процедуру, она станет довольно повторяющейся. Далее мы объясним это и приведем пример, чтобы вы могли научиться применять его в реальных упражнениях.

корни n-й степени из комплексных чисел

Понятие корня n-й степени эквивалентно произнесению корня порядка n, поэтому тот же метод используется для вычисления квадратного корня и корня пятой степени из комплексного числа. Конечно, количество решений будет меняться в зависимости от этого порядка.

Например, если мы вычислим корень четвертой степени комплекса, мы получим 4 разных решения. А если выразить это в комплексной плоскости , то мы увидим, что образуется правильный многоугольник с 4 сторонами, с центром в начале координат плоскости. Это очень интересное свойство, которое мы подробно рассмотрим позже (в разделе примеров).

Теперь, когда мы разъяснили это понятие, мы увидим, как вычислить корень комплексного числа в полярной форме (использование таких обозначений наиболее удобно для решения корня.). Проще говоря, вам нужно вычислить корень модуля и выразить аргумент через n. Другими словами, корень следующего комплексного числа (z):

Эти суммы для расчета:

Модуль: корень n-й степени исходного модуля.
Аргумент: прибавьте к аргументу 2πk в радианах или 360k в градусах и разделите на n.

Математически для расчета модуля и аргумента мы используем следующие две формулы:

Где k = 0, 1, 2, …, n-1.

И, следовательно, выразим результат следующим образом:

Чтобы внести ясность, n решений, которые мы получим в результате решения этого корня, будут сформированы одним и тем же модулем и n разными аргументами.

Примеры вычисления корней комплексов n-й степени

Теперь мы увидим несколько примеров по вычислению корней n-й степени из комплексных чисел. Мы рекомендуем вам попытаться решить их самостоятельно, а когда вы закончите, посмотрите исправление. Не забывайте, что метод описан чуть выше.

Найдите третий корень комплексного числа: 1 + i √3 .

ПОЖАЛУЙСТА, ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: мы будем решать это упражнение, используя радианы, а не градусы.

Как мы видим, число выражается в биномиальной форме, поэтому первым делом следует выразить его в полярной форме. Если вы не знаете, как это сделать, рекомендуем прочитать нашу статью о комплексных числах , в которой мы подробно обсуждаем эту тему.