Компланарные (или копланарные) векторы

На этой странице вы узнаете, что такое копланарные векторы и как определить, являются ли 2, 3, 4 или более векторов компланарными. Кроме того, вы сможете увидеть примеры и упражнения, решаемые шаг за шагом для копланарных векторов.

Что такое копланарные векторы?

В аналитической геометрии смысл компланарных (или копланарных) векторов следующий:

Компланарные векторы — это векторы, принадлежащие одной плоскости.

Следовательно, два вектора всегда компланарны, поскольку плоскость можно составить всего из двух векторов. С другой стороны, при наличии 3, 4 и более векторов возможно, что один из векторов не содержится в одной плоскости и, следовательно, они не компланарны.

примеры компланарных или копланарных векторов

Например, на графике выше вы можете видеть, что векторы

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

они компланарны друг другу, так как содержатся в одной плоскости. С другой стороны, эти два вектора не компланарны вектору

$\vv{\text{w}}$

, потому что в пространстве, содержащем три вектора, не может быть сформирована плоскость.

Из этого свойства мы можем сделать вывод, что если 3 или более вектора компланарны, точки, которые определяют указанные векторы (начало и конец вектора), также являются компланарными точками.

Когда векторы являются компланарными?

Как мы видели в определении копланарных (или копланарных) векторов, два вектора всегда компланарны, но более двух векторов не обязаны соблюдать соотношение компланарности.

Таким образом, существует несколько методов определения того, являются ли три и более вектора компланарными:

Если смешанное произведение трех векторов (или тройное скалярное произведение) равно нулю, это означает, что три вектора компланарны. Если вам не очень понятно, как рассчитывается эта операция, я рекомендую вам посмотреть, что такое смешанное произведение трех векторов , здесь вы найдете объяснение, а также примеры и решенные упражнения.

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] =0$

Если набор векторов может быть выражен как линейная комбинация двух векторов, это означает, что они компланарны, а это означает, что 3 или более векторов компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. Чтобы показать, что три и более вектора представляют собой линейную комбинацию двух векторов, достаточно, чтобы ранг матрицы, образованной всеми векторами, был равен 2.

$rg(A) = 2$

Важно, чтобы вы хорошо понимали концепцию линейной зависимости и независимости , то есть, когда два вектора линейно зависимы или линейно независимы, и что это означает. Если вам не совсем понятно, по ссылке вы найдете очень подробное объяснение, где, кроме того, можно увидеть примеры и пошагово решенные упражнения.

Если рассматриваемые векторы являются параллельными векторами , это означает, что они также компланарны, то есть все параллельные векторы содержатся в одной плоскости.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}}$

Решенные задачи компланарных векторов

Упражнение 1

Определите, являются ли следующие три вектора компланарными:

$\vv{\text{u}} = (3,1,2)$

$\vv{\text{v}} = (2,3,-1)$

$\vv{\text{w}} = (-1,-5,4)$

посмотреть решение

Чтобы проверить, являются ли это 3 копланарными векторами, мы должны вычислить смешанное произведение между тремя векторами:

$\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] -1 & -5 & 4 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 36+1-20+6-15-8 \\[2ex] & = \bm{0} \end{aligned}$

Смешанное произведение трех векторов равно нулю, поэтому эти три вектора компланарны .

Упражнение 2

Определите, являются ли следующие три вектора компланарными:

$\vv{\text{u}} = (4,-2,6)$

$\vv{\text{v}} = (-2,1,-3)$

$\vv{\text{w}} = (6,-3,9)$

посмотреть решение

Один из способов проверить, имеем ли мы дело с тремя компланарными векторами, — это найти смешанное произведение между тремя векторами. Однако если мы внимательно посмотрим на компоненты векторов, то увидим, что они пропорциональны. Следовательно, три вектора параллельны друг другу.

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}}$

А поскольку все векторы параллельны, они фактически являются тремя компланарными векторами .

Упражнение 3

Определите, являются ли следующие четыре вектора компланарными:

$\vv{\text{a}} = (2,1,1)$

$\vv{\text{b}} = (1,-1,2)$

$\vv{\text{c}} = (-1,0,-1)$

$\vv{\text{d}} = (3,1,2)$

посмотреть решение

Чтобы узнать, являются ли четыре вектора компланарными, мы должны вычислить ранг матрицы, состоящей из всех векторов:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{pmatrix}$

В этом случае мы вычисляем объем указанной матрицы по определителям:

$rg(A) = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \end{vmatrix}=0 \quad \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex]3&1&2\end{vmatrix} =0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{vmatrix}=0 \quad \begin{vmatrix} 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{vmatrix}=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1 \\[1.1ex] 1&-1\end{vmatrix}= -3\neq 0$

$rg(A) = 2$

Ранг матрицы, образованной всеми векторами, эквивалентен 2, поэтому 4 вектора компланарны .

Упражнение 4

Рассчитать значение параметра

$k$

так что следующие 4 точки лежат в одной плоскости:

$A(3,1,4)$

$B(2,1,2)$

$C(0,-1,3)$

$D(3,2,k)$

посмотреть решение

Чтобы четыре точки были компланарными, определяемые ими векторы должны быть компланарными. Поэтому мы вычисляем эти векторы:

$\vv{AB} = B- A = (2,1,2)-(3,1,4) = (-1,0,-2)$

$\vv{AC} = C- A = (0,-1,3)-(3,1,4) = (-3,-2,-1)$

$\vv{AD} = D- A = (3,2,k)-(3,1,4) = (0,1,k-4)$

Чья векторная матрица:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{pmatrix}$

Чтобы результирующие векторы были компланарными, ранг матрицы должен быть равен 2. И, следовательно, определитель всей матрицы 3х3 должен быть равен 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{vmatrix} =0$