Каноническое, сегментное или симметричное уравнение прямой

Здесь вы найдете объяснение того, что представляет собой формула канонического (или сегментного) уравнения линии, называемого также симметричным уравнением. Кроме того, вы сможете увидеть примеры и попрактиковаться на решенных упражнениях. И даже вы узнаете, как каноническое уравнение вычисляется из общего (или неявного) уравнения линии.

Что такое каноническое или сегментное уравнение прямой?

Помните, что математическое определение линии — это набор последовательных точек, которые представлены в одном направлении без кривых или углов.

Таким образом, каноническое уравнение линии , также называемое сегментным уравнением линии , представляет собой способ математического выражения любой линии. Для этого достаточно знать точки пересечения координатных осей указанной линии.

С другой стороны, в аналитической геометрии каноническое (или сегментное) уравнение линии еще называют симметричным уравнением линии .

Формула канонического или сегментного уравнения прямой

Каноническое или сегментное уравнение линии — это алгебраическое выражение линии, которое можно определить, зная значения, в которых линия пересекает ось X и ось Y.

Если линия пересекает декартовы оси в следующих точках:

Точка пересечения с осью X:

$(a,0)$

Точка пересечения с осью Y:

$(0,b)$

Формула канонического (или сегментного) уравнения линии :

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

сегментарное или симметричное каноническое уравнение линии в пространстве

Следует отметить, что канонического (или сегментного) уравнения линии не существует ни в одном из следующих трех случаев:

Когда линия вертикальна, то есть параллельна оси OY. Поскольку уравнение вертикальной линии имеет вид
$x=k.$
Когда линия горизонтальна, то есть параллельна оси OX. Поскольку уравнение горизонтальной линии имеет вид
$y=k.$
Когда линия проходит через начало координат (точку
$(0,0)$

), так как тогда мы имели бы две неопределенности в уравнении прямой.

Пример того, как найти каноническое или сегментное уравнение прямой

Чтобы вы лучше поняли концепцию, решим задачу сегментного (или канонического) уравнения прямой:

Найдите каноническое или сегментное уравнение прямой, проходящей через следующие две точки:

$A(0,4) \qquad \qquad B(-2,0)$

В этом случае объявление дает нам не 2 точки, а две точки пересечения с осями.

Точка пересечения линии с осью X:

$(-2,0)$

Точка пересечения линии с осью Y:

$(0,4)$

Итак, поскольку мы уже знаем две точки пересечения осей, нам просто нужно применить формулу канонического или сегментного уравнения линии:

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

И наконец, подставляем значения параметров

$a$

$b$

в формуле:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{-2}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\bm{4}}\bm{= 1}$

Теперь вы знаете, что такое каноническое (или сегментное) уравнение прямой. Однако следует знать, что существуют и другие способы выражения линии, и среди них выделяется явное уравнение . Этот тип линейного уравнения трудно полностью понять, поэтому мы подробно объяснили все о нем на связанной странице.

Рассчитайте каноническое или сегментное уравнение линии из ее общего уравнения.

Мы только что рассмотрели способ определения канонического или сегментного уравнения прямой, но есть и другие методы:

Каноническое или сегментное уравнение линии можно получить из общего (или неявного) уравнения этой же линии:

$Ax+By+C=0$

Сначала меняем стороны по коэффициенту С:

$Ax+By=-C$

Далее разделим все уравнение на значение знакопеременного параметра C:

$\cfrac{Ax+By}{-C}=\cfrac{-C}{-C}$

$\cfrac{Ax}{-C}+\cfrac{By}{-C}=1$

И, через свойства дробей, приходим к формуле канонического или сегментного уравнения прямой:

$\cfrac{x}{-\frac{C}{A}}+\cfrac{y}{-\frac{C}{B}}=1$

Следовательно, из этой формулы следует, что члены

$a$

$b$

канонического уравнения прямой эквивалентны следующим выражениям:

$a= -\cfrac{C}{A} \qquad \qquad b= -\cfrac{C}{B}$

Решенные задачи канонического или сегментного уравнения прямой

Упражнение 1

Каковы точки пересечения с осями координат следующей прямой?

$\cfrac{x}{3}+ \cfrac{y}{-1}= 1$

посмотреть решение

Линия в упражнении выражается в виде канонического или сегментного уравнения линии, формула которого имеет вид:

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

Следовательно, точки пересечения прямой с осями координат составляют:

Точка пересечения с осью X:

$\bm{(3,0)}$

Точка пересечения с осью Y:

$\bm{(0,-1)}$

Упражнение 2

Какое каноническое или сегментное уравнение изображенной линии?

сегментное или симметричное каноническое уравнение на плоскости

посмотреть решение

Из графика мы можем узнать точки, в которых линия пересекает оси координат:

Точка пересечения линии с осью X:

$(5,0)$

Точка пересечения линии с осью Y:

$(0,3)$

Итак, как только мы уже знаем две точки пересечения осей, нам просто нужно использовать формулу канонического или сегментного уравнения линии:

$\cfrac{x}{a}+ \cfrac{y}{b}= 1$

И наконец, подставляем значения параметров

$a$

$b$

в формуле:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{5}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\bm{3}}\bm{= 1}$

Упражнение 3

Рассчитайте каноническое или сегментное уравнение линии, определяемой следующим общим (или неявным) уравнением:

$3x-2y+6=0$

посмотреть решение

Чтобы перейти от общего уравнения к сегментному уравнению, мы должны сначала выделить независимый член уравнения:

$3x-2y+6=0$

$3x-2y=-6$

Во-вторых, разделим все уравнение на коэффициент в правой части уравнения:

$\cfrac{3x-2y}{-6}=\cfrac{-6}{-6}$

$\cfrac{3x}{-6}+\cfrac{-2y}{-6}=\cfrac{-6}{-6}$

Выражение выше эквивалентно следующему:

$\cfrac{x}{\frac{-6}{3}}+\cfrac{y}{\frac{-6}{-2}}=1$

Итак, каноническое, сегментное или симметричное уравнение линии:

$\cfrac{\bm{x}}{\bm{-2}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\bm{3}}\bm{= 1}$

Упражнение 4

Определите каноническое или сегментное уравнение, вектор направления которого равен

$\vv{\text{v}}=(4,-3)$

и проходит через точку

$P(-1,5).$

посмотреть решение

Сначала легко находим непрерывное уравнение прямой по ее вектору направления и точке, принадлежащей прямой:

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1} = \cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4} = \cfrac{y-5}{-3}$

$\cfrac{x+1}{4} = \cfrac{y-5}{-3}$

Теперь вычислим общее уравнение линии, умножив дроби крест-накрест и сгруппировав полученные члены:

$-3(x+1) = 4(y-5)$

$-3x-3 = 4y-20$

$-3x-3 - 4y+20 =0$

$-3x - 4y+17 =0$

Поэтому достаточно преобразовать общее уравнение линии в каноническое уравнение. Для этого сначала удалим из уравнения независимый член:

$-3x - 4y=-17$

Далее разделим все уравнение на коэффициент в правой части уравнения:

$\cfrac{-3x - 4y}{-17}=\cfrac{-17}{-17}$

$\cfrac{-3x}{-17}+\cfrac{-4y}{-17}=\cfrac{-17}{-17}$

Выражение выше эквивалентно следующему:

$\cfrac{x}{\frac{-17}{-3}}+\cfrac{y}{\frac{-17}{-4}}=1$

Отрицательное, разделенное на отрицательное, равно положительному:

$\cfrac{x}{\frac{17}{3}}+\cfrac{y}{\frac{17}{4}}=1$

Дроби не могут быть упрощены дальше, поэтому каноническое, сегментное или симметричное уравнение прямой имеет вид:

$\cfrac{\bm{x}}{\mathbf{\frac{17}{3}}}\bm{+} \cfrac{\bm{y}}{\mathbf{\frac{17}{4}}}\bm{= 1}$

Каноническое, сегментное или симметричное уравнение линии

Что такое каноническое или сегментное уравнение прямой?

Формула канонического или сегментного уравнения прямой

Пример того, как найти каноническое или сегментное уравнение прямой

Рассчитайте каноническое или сегментное уравнение линии из ее общего уравнения.

Решенные задачи канонического или сегментного уравнения прямой

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4

Оставьте комментарий Отменить ответ