Производная гиперболического косинуса

В этой статье мы объясним, как получить гиперболический косинус функции. Кроме того, вы найдете примеры гиперболических производных косинуса и, наконец, мы покажем вам формулу этого типа тригонометрической производной.

Формула, полученная из гиперболического косинуса

Производная гиперболического косинуса x является гиперболическим синусом x.

f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)

Следовательно, производная гиперболического косинуса функции равна произведению гиперболического синуса функции и производной этой функции.

f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'

Вторая формула идентична первой, с той лишь разницей, что во второй применяется правило цепочки. Таким образом, первую формулу можно использовать только для получения гиперболического косинуса x, а вторую формулу можно использовать для вывода гиперболического косинуса любого типа функции.

Как видите, формула производной гиперболического косинуса отличается от формулы производной косинуса, хотя они имеют некоторое сходство.

➤ См.: формула производной косинуса

Примеры производной гиперболического косинуса

Учитывая формулу производной гиперболического косинуса, ниже мы решаем несколько примеров производных этого типа тригонометрических функций. Помните, любые возникающие вопросы вы можете задавать в комментариях.

Пример 1: Производная гиперболического косинуса 2x

f(x)=\text{cosh}(2x)

В этом примере у нас в аргументе гиперболического косинуса есть функция, отличная от x, поэтому мы должны использовать формулу для производной гиперболического косинуса с цепным правилом:

f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'

Производная 2x равна 2, поэтому производная гиперболического косинуса 2x — это гиперболический синус 2x, умноженный на 2.

f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)

Пример 2: Производная гиперболического косинуса x в квадрате

f(x)=\text{cosh}(x^2)

Как мы видели выше, правило для производной функции гиперболического косинуса:

f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'

Таким образом, выводим с одной стороны квадратичную функцию x 2 , дающую 2x, затем вычисляем производную всей функции:

f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x

Доказательство формулы производной гиперболического косинуса

Наконец, мы покажем вам формулу, полученную из гиперболического косинуса, чтобы вы могли понять, откуда она берется. Если исходить из выражения гиперболического косинуса:

\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}

Из обеих частей выражения делаем вывод:

\displaystyle\bigl(\text{cosh}(x)\bigr)'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'

В правой части у нас есть деление, поэтому для нахождения производной применим формулу производной частного:

\displaystyle\text{cosh}'(x)=\frac{(e^x-e^{-x})\cdot 2}{2^2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

➤ См.: Правило, полученное из частного.

Если присмотреться, то полученное выражение соответствует выражению гиперболического синуса, а это значит, что следующее равенство эквивалентно:

\displaystyle\text{cosh}'(x)=\text{senh}(x)

И вот мы пришли к правилу производной гиперболического косинуса, для которого оно доказано.

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Прокрутить вверх