На этой странице вы найдете все возможные относительные положения двух плоскостей (сухих, параллельных или совпадающих). Вы также узнаете, как рассчитывается относительное положение между двумя плоскостями, и, кроме того, сможете увидеть примеры и попрактиковаться с решенными упражнениями.
Каково взаимное расположение двух плоскостей?
В аналитической геометрии существует только три возможных относительных положения между двумя плоскостями: секущие плоскости, параллельные плоскости и совпадающие плоскости.
- Пересекающиеся плоскости : две плоскости пересекаются, если они пересекаются только по одной линии.
- Параллельные плоскости : Две плоскости параллельны, если они не пересекаются ни в одной точке.
- Совпадающие плоскости : Две плоскости совпадают, если все они имеют общие точки.
пересекающиеся плоскости
параллельные плоскости
совпадающие плоскости
Существует два метода нахождения относительного положения между двумя плоскостями: один из коэффициентов общих уравнений двух плоскостей, а другой путем вычисления рангов двух матриц. Ниже приводится объяснение каждой процедуры.
Как определить взаимное расположение двух плоскостей по коэффициентам
Один из способов узнать относительное положение между двумя плоскостями — использовать коэффициенты их общих (или неявных) уравнений.
Рассмотрим тогда общее (или неявное) уравнение двух разных плоскостей:
Относительное положение двух плоскостей в трехмерном пространстве (в R3) зависит от пропорциональности их коэффициентов или параметров:
Следовательно, две плоскости пересекутся, когда один из коэффициентов A, B или C не пропорционален другим. С другой стороны, две плоскости будут параллельны, если только независимые члены не пропорциональны. И наконец, планы совпадут, когда все коэффициенты двух уравнений будут пропорциональны.
Например, давайте вычислим взаимное положение следующих двух плоскостей:
Чтобы узнать, что это за тип самолета, нужно проверить, какие коэффициенты пропорциональны:
Коэффициенты A, B и C пропорциональны друг другу, но не коэффициенту D, поэтому две плоскости параллельны .
Как вычислить взаимное положение двух плоскостей по диапазонам
Другой способ узнать относительное положение двух определенных плоскостей состоит в вычислении диапазона двух матриц, образованных коэффициентами указанных плоскостей.
Итак, представим общее (или неявное) уравнение двух разных плоскостей:
Мы называем A матрицей, состоящей из коэффициентов A, B и C двух уравнений:
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f97413606a79781a34e0664a780b35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
И пусть матрица A’ будет расширенной матрицей со всеми коэффициентами двух уравнений:
![\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-534e5baa11d1331cda0fa48c167a322f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Относительное положение двух плоскостей можно узнать на основе диапазонов двух предыдущих матриц:
То, что относительные положения зависят от рангов этих двух матриц, можно показать с помощью теоремы Руша-Фробениуса (теоремы, используемой для решения систем линейных уравнений). Однако на этой странице мы не будем проводить демонстрацию, потому что это не обязательно знать, и это тоже мало что дает.
Чтобы вы могли видеть, как это делается, мы рассчитаем относительное положение между следующими двумя плоскостями:
Первое, что нужно сделать, это построить матрицу А и расширенную матрицу А’ с коэффициентами уравнений двух плоскостей:
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&3&-1\\[1.1ex] 3&-4&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&3&-1&1\\[1.1ex] 3&-4&0&2\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5cfb4d05d76542970c1f7db9ef1b31a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
И теперь нам нужно вычислить ранг каждой матрицы. Сначала находим размер матрицы А по определителям:
![\displaystyle \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 3&-4\end{vmatrix} =-17\neq 0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ad5c0df1a15c695be7c0c5c71304cc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Матрица A содержит подматрицу размером 2×2, определитель которой отличен от нуля, поэтому это матрица ранга 2.
С другой стороны, необходимо также вычислить ранг матрицы A’. А ранг расширенной матрицы А’ всегда будет не ниже ранга матрицы А, следовательно, в данном конкретном случае ранг матрицы А’ также равен 2.
Так что размеры двух матриц эквивалентны и имеют значение 2, следовательно, две плоскости пересекаются .
Решенные задачи взаимного расположения двух плоскостей
Упражнение 1
Изучите взаимное положение следующих двух плоскостей:
Чтобы вычислить относительное положение между двумя плоскостями, мы посмотрим, пропорциональны ли коэффициенты уравнений двух плоскостей:
Все коэффициенты неявных уравнений двух планов пропорциональны друг другу, следовательно, это два совпадающих плана .
Упражнение 2
Определите взаимное расположение следующих двух плоскостей:
Чтобы определить взаимное расположение двух плоскостей, проанализируем пропорциональность коэффициентов их уравнений:
Коэффициенты A и C неявных уравнений двух плоскостей пропорциональны друг другу, но не коэффициенту B. Следовательно, они представляют собой две секущие плоскости .
Упражнение 3
Найдите взаимное расположение следующих двух плоскостей:
Для определения взаимного положения между двумя плоскостями необходимо проверить, пропорциональны ли коэффициенты уравнений двух плоскостей:
Первые три параметра (A, B и C) уравнений двух плоскостей пропорциональны друг другу, но не параметру D, поэтому две плоскости параллельны .
Упражнение 4
Рассчитать значение параметра
так что следующие две плоскости параллельны:
Чтобы две плоскости были параллельными, коэффициенты A, B и C в их уравнениях должны быть пропорциональными. Другими словами, должно быть проверено следующее равенство:
В данном конкретном случае коэффициенты А и В первого плана вдвое меньше коэффициентов второго плана:
Следовательно, нам необходимо решить приведенное выше уравнение. И для этого перекрестим две дроби:
Таким образом, значение параметра
должно быть равно 10.