Векторное уравнение плоскости

На этой странице вы найдете уравнение (формулу) плоского вектора и примеры расчетов. Кроме того, вы сможете попрактиковаться с упражнениями и решением задач векторного уравнения плоскости.

Что такое векторное уравнение плоскости?

В аналитической геометрии векторное уравнение плоскости — это уравнение, позволяющее математически выразить любую плоскость. Чтобы найти векторное уравнение плоскости, нам нужна только точка и два линейно независимых вектора, принадлежащих этой плоскости.

Формула векторного уравнения плоскости

Рассмотрим точку и два направляющих вектора плоскости:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

Формула векторного уравнения плоскости :

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Золото

$\lambda$

$\mu$

два скаляра, то есть два действительных числа.

Следовательно, это означает, что любую точку плоскости можно выразить как линейную комбинацию одной точки и двух векторов.

Кроме того, необходимым условием соответствия предыдущего уравнения плоскости является то, что два вектора плоскости обладают линейной независимостью, то есть два вектора не могут быть параллельны друг другу. другой.

С другой стороны, имейте в виду, что помимо векторного уравнения существуют и другие способы аналитического выражения плоскости, такие как параметрическое уравнение плоскости и неявное уравнение плоскости . Вы можете проверить, что представляет собой каждый тип уравнения, по ссылкам.

Пример того, как найти векторное уравнение плоскости

Раз уж мы увидели объяснение понятия векторного уравнения плоскости, давайте посмотрим, как оно рассчитывается на примере:

Найдите векторное уравнение плоскости, проходящей через точку
$P(2,0,4)$

и содержит векторы

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2)$

И

$\vv{\text{v}}=(5,0,1).$

Чтобы определить векторное уравнение плоскости, достаточно применить его формулу:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

А теперь подставим точку и каждый вектор в уравнение:

$\bm{(x,y,z)=(2,0,4)+\lambda (1,3,-2) + \mu (5,0,1)}$

Как видно из примера, найти векторное уравнение плоскости относительно легко. Однако задачи могут немного усложниться, поэтому ниже вы найдете несколько решенных упражнений разной сложности, чтобы вы могли попрактиковаться.

Решенные задачи плоского векторного уравнения

Упражнение 1

Определить векторное уравнение плоскости, содержащей вектор

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

и проходит через следующие два пункта:

$A(1,3,-1)$

$B(2,-1,5).$

посмотреть решение

Чтобы узнать уравнение плоскости, вам нужна точка и два вектора, и в этом случае у нас есть только один вектор, поэтому мы должны найти другой направляющий вектор плоскости. Для этого мы можем вычислить вектор, который определяет две точки плоскости:

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

Теперь, когда мы уже знаем два направляющих вектора плоскости и точки, поэтому воспользуемся формулой векторного уравнения плоскости:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

И подставим в уравнение два вектора и одну из двух точек плоскости:

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

Упражнение 2

Найдите векторное уравнение плоскости, содержащей следующие три точки:

$A(2,-2,1) \qquad B(1,0,4) \qquad C(-1,3,-2)$

посмотреть решение

Чтобы найти векторное уравнение плоскости, нам нужно найти два линейно независимых вектора, связывающихся в плоскости. И для этого мы можем вычислить два вектора, которые определяются тремя точками:

$\vv{AB} = B - A = (1,0,4) - (2,-2,1) = (-1,2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (-1,3,-2) - (2,-2,1) = (-3,5,-3)$

Координаты двух найденных векторов не пропорциональны, поэтому линейно независимы друг от друга.

Теперь, когда мы уже знаем два направляющих вектора и точку плоскости, мы применим формулу векторного уравнения плоскости:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

И подставляем в уравнение два вектора и одну из трёх точек плоскости:

$\bm{(x,y,z)=(2,-2,1)+\lambda (-1,2,3) + \mu (-3,5,-3)}$

Упражнение 3

Вычислите 4 точки в пространстве, принадлежащие плоскости, определяемой следующим векторным уравнением:

$(x,y,z)=(0,2,1)+\lambda (2,-1,4) + \mu (-1,3,0)$

посмотреть решение

Чтобы вычислить точку на плоскости, просто задайте любое значение параметрам.

$\lambda$

$\mu .$

Еще:

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(0,2,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(2,1,5)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(-1,5,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(1,4,5)}$

Упражнение 4

Найдите векторное уравнение плоскости, содержащей прямую

$r$

и параллельно вправо

$s.$

это строки:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+2t \\[1.7ex] y=-1+t\\[1.7ex] z=5-4t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4}= \frac{z+1}{-3}$

посмотреть решение

Чтобы найти векторное уравнение плоскости, нам нужно знать два вектора направления и точку указанной плоскости. Инструкция сообщает нам, что она содержит строку

$r$

Следовательно, мы можем взять вектор направления и точку на этой линии, чтобы определить плоскость. Более того, это утверждение говорит нам, что плоскость параллельна прямой.

$s,$