Биномиальный куб - Маторность

Здесь вы найдете объяснение разрешения известного произведения бинома в кубе (формула): (a+b) ³ или (ab) ³ . Кроме того, вы сможете увидеть пошагово решенные примеры и упражнения от бинома до куба.

Что такое кубический бином?

Кубический бином – это многочлен, состоящий из двух членов в степени 3. Следовательно, алгебраическое выражение кубического бинома может быть (a+b) ³ или (ab) ³ , в зависимости от того, добавляем или вычитаем их мономы.

Кроме того, кубический бином является одним из примечательных тождеств (или примечательных произведений). Точнее, оно соответствует одному из примечательных тождеств куба (или куба).

формула биномиального куба

Как мы видели в определении биномиального куба, этот тип заметного тождества может состоять из сложения или вычитания. Следовательно, формула немного меняется в зависимости от того, является ли она положительным биномом или отрицательным биномом, и поэтому мы будем рассматривать каждый случай отдельно.

куб суммы

Когда сумма возведена в куб, мы можем вычислить ее по формуле куба суммы:

Так что бином в кубе (сложение) равен кубу первого плюс тройка квадрата первого, умноженного на второй, плюс тройка первого, умноженного на квадрат второго, плюс куб второго.

Другой метод вычисления куба бинома — это бином Ньютона (или биномиальная теорема). Оставляем вам следующую ссылку с объяснением этой теоремы, потому что знать эту формулу очень полезно, так как она работает не только для степеней биномов третьей степени, но и для высших показателей. Итак, нажмите на эту ссылку, чтобы узнать и попрактиковаться в решении биномиальных упражнений Ньютона .

куб разницы

С другой стороны, если вместо суммы мы имеем возведенную в куб разность (или вычитание), то формула бинома куба меняет знак четных членов:

бином разности или вычитания в формуле куба

Следовательно, бином в кубе (вычитание) равен кубу первого минус три раза квадрат первого на второй плюс трижды первый к квадрату второго минус куб второго.

Таким образом, единственное, чем отличаются формулы куба суммы и куба разности, — это знаки второго и четвертого слагаемых, так как в биноме суммы все положительны и, наоборот, в оба бинома вычитания отрицательны.

Мы только что увидели, что такое бином суммы и бином разности. Ну и знайте, что сумма по разности двух биномов тоже является замечательным тождеством и по сути входит в топ-3 (самых важных). Вы можете увидеть, что представляет собой формула для расчета суммы, умноженной на разницу, и как она применяется на связанной странице.

Примеры кубических биномов

Теперь, когда мы знаем формулу куба суммы и формулу куба разности, мы увидим пример решения каждого типа бинома в кубе, чтобы завершить понимание концепции.

Пример куба суммы

Решите бином следующего куба, применив формулу:

$(x+2)^3$

В этой задаче у нас есть бином, два члена которого положительны. Поэтому мы должны применить формулу для кубической суммы:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Теперь нам нужно найти значения параметров

$a$

$b$

формулы. В этом случае,

$a$

соответствуют переменной

$x$

$b$

это номер 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)^3\\[2ex] (x+2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Поэтому вычислим бином в кубе, подставив значения

$a$

и из

$b$

в формуле:

Пример разностного куба

Вычислите следующий кубический бином (разность), используя соответствующую формулу:

$(3x-2)^3$

В этом упражнении у нас есть пара с положительным элементом и отрицательным элементом. Поэтому мы должны использовать формулу кубической разности:

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2 -b^3$

Поэтому необходимо определить значение неизвестных.

$a$

$b$

формулы. В этом случае,

$a$

представляет моном 3x и

$b$

является независимым членом бинома, т.е. 2.

$\left. \begin{array}{l} (a-b)^3\\[2ex] (3x-2)^3 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=3x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Обратите внимание, что параметр

$b$

просто равно 2, без отрицательного знака числа. Важно помнить об этом, чтобы правильно применять формулу.

Наконец, мы решаем бином в кубе, помещая значения

$a$

и из

$b$

в формуле:

Доказательство формулы биномиального куба

Далее мы продемонстрируем формулу кубического бинома. Хотя, очевидно, знать это не обязательно, всегда полезно понимать алгебру, лежащую в основе любой формулы.

Из положительного кубического бинома:

$(a+b)^3$

Приведенное выше выражение можно математически разложить на произведение множителя

$(a+b)$

по площади:

$(a+b)^3=(a+b)\cdot (a+b)^2$

Кроме того, пара

$(a+b)$

возведенное до 2, это замечательное тождество, поэтому мы можем решить его по формуле квадрата суммы :

$(a+b)\cdot (a+b)^2=(a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2)$

Теперь умножим две скобки, используя распределительное свойство:

$\begin{aligned} (a+b)\cdot (a^2+2ab+b^2) & = a\cdot a^2 +a\cdot 2ab + a\cdot b^2+b\cdot a^2 +b\cdot 2ab +b \cdot b^2 \\[2ex] & = a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 \end{aligned}$

И, наконец, нам просто нужно сгруппировать термины, которые выглядят похоже:

$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Чтобы проверить формулу кубического бинома:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

Логически, чтобы вывести формулу отрицательного биномиального куба, выполните те же шаги, которые мы только что сделали, но начиная с термина

$b$

изменился знак.

С другой стороны, формулу кубического бинома можно также продемонстрировать с помощью треугольника Паскаля (или Тартальи) . Если вы не знаете, что это за математический трюк, мы оставляем вам эту ссылку, где он объясняется шаг за шагом. Кроме того, вы сможете увидеть все его применения и конкретную историю этого особенного алгебраического треугольника.

Решенные задачи о биномиальном кубе

Чтобы вы могли попрактиковаться с только что рассмотренной теорией по вычислению бинома в степени 3, мы подготовили несколько упражнений, решаемых шаг за шагом на бином в кубе.

Так что не забудьте рассказать нам, что вы думаете об этом объяснении! А также вы можете задать нам любые возникшие вопросы! 👍👍👍

Упражнение 1

Найдите следующие кубические биномы:

$\text{A)} \ (x+4)^3$

$\text{B)} \ \left(x^2-5\right)^3$

$\text{C)} \ \left(2x-1\right)^3$

$\text{D)} \ (5x+2)^3$

посмотреть решение

Чтобы найти все заметные тождества задачи, просто примените к кубу биномиальную формулу в зависимости от того, является ли это сложением или вычитанием:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}(x+4)^3& =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 4^2+4^3\\[2ex] & =x^3+3\cdot x^2\cdot 4 +3\cdot x\cdot 16+64 \\[2ex] & = \bm{x^3+12x^2+48x+64}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(x^2-5\right)^3& =\left(x^2\right)^3-3\cdot \left(x^2\right)^2\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 5^2-5^3\\[2ex] & =x^6-3\cdot x^4\cdot 5 +3\cdot x^2\cdot 25-125 \\[2ex] & = \bm{x^6-15x^4+75x^2-125}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned}\left(2x-1\right)^3& =\left(2x\right)^3-3\cdot \left(2x\right)^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\\[2ex] & =8x^3-3\cdot 4x^2\cdot 1 +3\cdot 2x\cdot 1-1 \\[2ex] & = \bm{8x^3-12x^2+6x-1}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned}(5x+2)^3& =(5x)^3+3\cdot \left(5x\right)^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 2^2+2^3\\[2ex] & =125x^3+3\cdot 25x^2\cdot 2 +3\cdot 5x\cdot 4+8 \\[2ex] & = \bm{125x^3+150x^2+60x+8}\end{aligned}$

Упражнение 2

Определите следующие биномы куба двух величин, применив соответствующую формулу:

$\text{A)} \ \left(4x^2-y^5\right)^3$

$\text{A)} \ \left(6x^3+2y^4\right)^3$

$\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3$

посмотреть решение

Чтобы вычислить все заметные произведения упражнения, необходимо воспользоваться формулой суммы и вычитания в кубе:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2 +b^3$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$\text{A)} \ \begin{aligned}\left(4x^2-y^5\right)^3& =\left(4x^2\right)^3-3\cdot \left(4x^2\right)^2\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot \left(y^5\right)^2-\left(y^5\right)^3\\[2ex] & =64x^6-3\cdot 16x^4\cdot y^5 +3\cdot 4x^2\cdot y^{10}-y^{15} \\[2ex] & = \bm{64x^6-48x^4y^5+12x^2y^{10}-y^{15}}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned}\left(6x^3+2y^4\right)^3& =\left(6x^3\right)^3+3\cdot \left(6x^3\right)^2\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot \left(2y^4\right)^2+\left(2y^4\right)^3\\[2ex] & =216x^9+3\cdot 36x^6\cdot 2y^4 +3\cdot 6x^3\cdot 4y^8+8y^{12} \\[2ex] & = \bm{216x^9+216x^6y^4 +72x^3y^8+8y^{12}}\end{aligned}$

Одночлены последнего кубического бинома имеют дробные коэффициенты, поэтому для его решения нужно использовать свойства дробей:

$\text{C)} \ \displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{9}{2}x^2-\frac{4}{3}x\right)^3 & =\left(\frac{9}{2}x^2\right)^3-3\cdot \left(\frac{9}{2}x^2\right)^2\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \left(\frac{4}{3}x\right)^2-\left(\frac{4}{3}x\right)^3\\[3ex] & =\frac{9^3}{2^3}x^6-3\cdot \frac{9^2}{2^2}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{4^2}{3^2}x^2-\frac{4^3}{3^3}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{81}{4}x^4\cdot \frac{4}{3}x +3\cdot \frac{9}{2}x^2\cdot \frac{16}{9}x^2-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot \frac{324}{12}x^5 +3\cdot \frac{144}{18}x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] &= \frac{729}{8}x^6-3\cdot 27x^5 +3\cdot 8x^4-\frac{64}{27}x^3 \\[3ex] & = \mathbf{\frac{729}{8}}\bm{x^6-81x^5 +24x^4-}\mathbf{\frac{64}{27}}\bm{x^3}\end{aligned}$

Что такое кубический бином?

формула биномиального куба

куб суммы

куб разницы

Примеры кубических биномов

Пример куба суммы

Пример разностного куба

Доказательство формулы биномиального куба

Решенные задачи о биномиальном кубе

Упражнение 1

Упражнение 2

Оставьте комментарий Отменить ответ