Производные — Маторность

Здесь мы объясним, как вывести все типы функций. Вы найдете формулы для всех производных с примерами и пошаговыми упражнениями по производным.

Что такое производные продукты?

Производные — это математические правила, используемые для изучения функций. В частности, производная функции в точке является результатом предела и указывает на поведение функции в этой точке.

Производная функции выражается знаком штриха ‘ , то есть функция f'(x) является производной функции f(x) .

Геометрически смысл производной функции в точке — это наклон касательной к функции в этой точке.

Математическое определение производной функции выглядит следующим образом:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Однако производная функции обычно не рассчитывается по приведенной выше формуле, а правила дифференцирования применяются в зависимости от типа функции. Все формулы вывода объяснены ниже.

производные формулы

Увидев определение деривативов, мы увидим, как они создаются, объяснив каждый тип деривативов на примере. Цель этого поста — помочь вам хорошо понять концепцию производных, поэтому, если в конце концов у вас возникнут какие-либо сомнения относительно того, как получается функция, вы можете задать их нам в комментариях.

производное от константы

Производная константы всегда равна нулю, независимо от значения константы.

Поэтому, чтобы найти производную постоянной функции, не нужно заниматься никакой математикой, просто производная равна нулю.

Взгляните на следующие практические примеры производных констант:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

Производная линейной функции

Производная линейной функции — это коэффициент при члене первой степени, то есть производная линейной функции f(x)=Ax+B равна A

Взгляните на следующие примеры того, как был получен этот тип функции:

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

производное от силы

Производная степени или потенциальная функция — это произведение показателя степени на основание, возведенное в показатель степени минус 1.

Следовательно, чтобы получить степень, просто умножьте функцию на показатель степени и вычтите из показателя одну единицу.

Например, производная мощности x в кубе равна:

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

Попрактиковаться в выполнении упражнений (и более сложных) этого типа производной можно здесь:

➤ См.: решенные упражнения на производную степени.

производное от корня

Производная корня, или иррациональной функции, равна произведению индекса корня, умноженного на тот же корень, и вычитанию 1 из показателя подкоренного выражения.

В качестве примера ниже вы можете увидеть найденную производную квадратного корня из x:

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ См.: решенные упражнения на производную корня

Производная показательной функции

Производная показательной функции зависит от того, является ли основанием число e или другое число. Поэтому существует две формулы для получения функции этого типа, и вы должны использовать ту, которая соответствует основанию мощности:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

Ниже вы можете увидеть две решенные производные функций этого типа:

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ См.: решение упражнений на производную показательной функции.

Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции зависит от основания логарифма, поскольку, если логарифм натуральный, необходимо применить формулу для нахождения производной, а если логарифм имеет в качестве основания другое число, необходимо использовать другое правило.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

Например, производная логарифма по основанию 3 равна:

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ См.: решение упражнений на производную логарифмической функции.

Тригонометрические производные

Тремя основными тригонометрическими производными являются производные функции синуса, косинуса и тангенса, формулы которых имеют следующий вид:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

Логически существует несколько типов тригонометрических функций, таких как секанс, косеканс, котангенс, гиперболические тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и т. д. Но наиболее часто используемые правила дрифта — это три вышеперечисленных.

реферальные правила

Когда у нас есть операции с функциями, производные решаются по-другому. Для этого нам нужно воспользоваться правилами дифференцирования , которые позволяют вывести функции сложения, вычитания, умножения и деления.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

Следовательно, для решения производных с помощью операций нам нужно не только применять правила производных, но и использовать формулы для каждого типа производной.

Чтобы вы увидели, как найти производную этого типа, ниже мы решим несколько упражнений:

Производная суммы:

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

Как видите, для нахождения производной всей функции к каждому члену суммы применялась формула производной степени.

Получено из продукта:

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

Производная первого члена произведения равна 4 ^x ln(4), а производная синуса — косинус. Итак, производная от умножения:

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

Производная частного:

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

В числителе и знаменателе дроби у нас стоит многочлен, поэтому для получения производной нужно воспользоваться формулой производной частного, формулой производной сложения (или вычитания) и формулой производной имеет власть:

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

Правило цепи

Цепное правило — это формула, используемая для вывода сложных функций. Цепное правило гласит, что производная сложной функции f(g(x)) равна производной f'(g(x)) умноженной на производную g'(x) .

Это понятие деривативов, как правило, сложнее усвоить, поэтому в качестве примера мы поэтапно решим упражнение:

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

По сути, это композиция функций, поскольку у нас есть функция x ³ внутри функции синуса, поэтому мы должны использовать цепное правило, чтобы найти производную составной функции.

С одной стороны, производная синуса – это косинус, поэтому производной внешней функции будет косинус с тем же аргументом, что и синус:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

А, с другой стороны, вычисляем производную х ³ по формуле производной степени:

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

Таким образом, производная целочисленной сложной функции является произведением двух производных:

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ См.: решение производных упражнений с помощью цепного правила.

Дифференцируемость функции

Непрерывность и дифференцируемость функции в точке связаны следующим образом:

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Если функция не является непрерывной в какой-то точке, она также не дифференцируема в этой точке.

Однако обратное утверждение этой теоремы неверно, т. е. то, что функция непрерывна в точке, не означает, что она всегда дифференцируема в этой точке.

Вы также можете увидеть, дифференцируема ли функция в определенной точке ее графика:

Если это гладкая точка, то функция в этой точке дифференцируема.
Если это угловая точка, функция в этой точке непрерывна, но не дифференцируема.

Точка сглаживания при x=0:
непрерывная и дифференцируемая функция в этой точке.

Наклонная точка при x=2:
функция непрерывна, но не дифференцируема в этой точке.

Вы также можете определить, дифференцируема ли кусочная функция в некоторой точке, вычислив боковые производные в этой точке:

Если боковые производные в точке не равны, функция не дифференцируема в этой точке:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Оно не дифференцируемо в

$x_o$

Если боковые производные в точке совпадают, то функция в этой точке дифференцируема:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Да, это выводится в

$x_o$

Теперь посмотрим пример вычисления производной функции, определенной в точке кусочно:

Изучите непрерывность и дифференцируемость следующей кусочной функции в точке x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Функции обоих участков непрерывны на своих интервалах, однако необходимо проверить, непрерывна ли функция в критической точке x=2. Для этого решим боковые пределы функции в точке:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Боковые пределы в критической точке дали нам тот же результат, поэтому функция непрерывна в точке x=2.

Как только мы узнаем, что функция непрерывна в точке x = 2, мы изучим дифференцируемость функции в этой точке. Для этого вычислим боковые производные кусочно-определенной функции:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Теперь оценим каждую боковую производную в критической точке:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

Две боковые производные дали нам один и тот же результат, поэтому функция дифференцируема при x = 2, а значение производной равно 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

С другой стороны, если бы боковые производные дали нам другой результат, это означало бы, что функция не дифференцируема при x=2. Другими словами, производная в этот момент не существовала бы.

➤ См.: решение упражнений на дифференцируемость функции.