Производная линейной функции

В этой статье мы покажем вам, чему равна производная линейной функции. Кроме того, мы решаем несколько примеров производных линейных функций и демонстрируем формулу для этого типа производной. Вы даже найдете решенные упражнения на производные линейных функций.

Что такое производная линейной функции?

Производная линейной функции — это коэффициент при члене первой степени , то есть производная линейной функции f(x)=Ax+B равна A.

$f(x)=Ax+B\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=A$

Независимый член удаляется из производной, поскольку производная константы равна нулю. И, с другой стороны, производная члена первой степени является коэффициентом этого члена. Следовательно, производная суммы этих двух видов функций является коэффициентом при линейном члене.

Геометрически производная линейной функции — это наклон этой функции. На графике выше вы можете увидеть представленную линейную функцию со своей производной.

Примеры производных линейных функций

Учитывая определение производной линейной функции, мы вычислим несколько примеров линейных функций, чтобы завершить понимание концепции:

$\begin{array}{c}f(x)=3x+1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x-4\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

Имейте в виду, что производной линейной функции всегда является число, которое сопровождает переменную x, когда функция не имеет независимого члена или, другими словами, если у нее есть только один член первой степени. Например:

$f(x)=8x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=8$

Следовательно, производная линейной функции — это функция без независимой переменной, простое число.

Доказательство производной линейной функции

Далее мы продемонстрируем формулу производной линейной функции.

Пусть f — любая линейная функция:

$f(x)=Ax+B$

Формула вычисления производной функции в точке:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Итак, если вычислить предыдущий предел для линейной функции, мы получим:

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{A(a+h)+B-(A\cdot a+B)}{h}$

Раскрываем скобки:

$\displaystyle f'(a)=\frac{Aa+Ah+B-Aa-B}{h}$

Действуем в числителе:

$\displaystyle f'(a)=\frac{Ah}{h}$

И наконец, упрощаем дробь:

$\displaystyle f'(a)=A$

В заключение, производная линейной функции равна коэффициенту при члене первой степени в любой точке. Таким образом, выведена формула производной линейной функции.