Горизонтальная асимптота

В этой статье мы объясним, что такое горизонтальные асимптоты функции и как они вычисляются. Кроме того, вы найдете несколько примеров асимптот этого типа, чтобы полностью понять концепцию, и, кроме того, вы сможете попрактиковаться с решенными упражнениями по горизонтальным асимптотам.

Что такое горизонтальная асимптота?

Горизонтальная асимптота функции — это горизонтальная линия, к которой неограниченно приближается ее график, ни разу ее не пересекая. Следовательно, уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид y=k , где k — значение горизонтальной асимптоты.

То есть k является горизонтальной асимптотой, если предел функции при стремлении x к бесконечности равен k .

Приведенная выше функция имеет горизонтальную асимптоту по обе стороны графика, но функция может иметь горизонтальную асимптоту только с одной стороны:

Функция имеет левую горизонтальную асимптоту , если предел хотя бы до бесконечности дает действительное число.
Функция имеет горизонтальную асимптоту вправо, если предел до плюс бесконечности дает действительное число.

Как вычислить горизонтальную асимптоту функции

Чтобы вычислить горизонтальную асимптоту функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Вычислите предел функции до бесконечности (+∞ и -∞).
Если предел до бесконечности дает действительное число (k), линия y=k является горизонтальной асимптотой функции.
Если ни один из пределов не соответствует действительному числу, функция не имеет горизонтальных асимптот.

Пример горизонтальной асимптоты

Итак, вы можете увидеть пример того, как это делается, мы удалим все горизонтальные асимптоты из следующей рациональной функции:

$f(x)=\cfrac{x+1}{x-1}$

Для определения горизонтальных асимптот необходимо вычислить предел на минус бесконечности и на плюс бесконечности функции:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x+1}{x-1} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \cfrac{1}{1} = \bm{1}$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x+1}{x-1} = \cfrac{-\infty}{-\infty}= \cfrac{1}{1} = \bm{1}$

➤ См.: как решить бесконечную неопределенность между бесконечными

Два предела на бесконечности дают 1, поэтому y=1 — единственная горизонтальная асимптота функции.

Ниже функция представлена графически. Как видите, функция очень близко приближается к y=1 (как в плюс бесконечности, так и в минус бесконечности), но никогда не касается ее, поскольку это горизонтальная асимптота.

Примечание: в некоторых особых случаях функция пересекает горизонтальную асимптоту в одной или нескольких точках, но в общем случае график функции никогда не пересекает ее асимптоты.

С другой стороны, эта функция также имеет вертикальную асимптоту при x=1. Потому что, как вы можете видеть на графике, она очень приближается к линии x=1, но никогда не достигает этого значения.

Решенные задачи горизонтальных асимптот

Упражнение 1

Найдите горизонтальную асимптоту, если таковая имеется, следующей дробной функции:

$\displaystyle f(x)= \frac{4x+3}{2x-1}$

посмотреть решение

Для определения горизонтальных асимптот рациональной функции необходимо вычислить пределы на бесконечности функции:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x+3}{2x-1} = \frac{4(+\infty)}{2(+\infty)} = \frac{+\infty}{+\infty} = \frac{4}{2} = \bm{2}$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{4x+3}{2x-1} = \frac{4(-\infty)}{2(-\infty)} = \frac{-\infty}{-\infty} = \frac{4}{2} = \bm{2}$

В этом случае результатом неопределенной формы ∞/∞ является деление коэффициентов при x высшей степени, так как числитель и знаменатель одного порядка.

Пределы функции на плюс бесконечности и минус бесконечности дают 2, поэтому y=2 является горизонтальной асимптотой и единственной, которую имеет функция.

Упражнение 2

Найдите все горизонтальные асимптоты следующей рациональной функции с корнем:

$\displaystyle f(x)= \frac{3x}{\sqrt{x^2+2}}$

посмотреть решение

Чтобы найти горизонтальные асимптоты функции, сначала вычисляем предел на положительной бесконечности:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+2}}= \frac{+\infty}{+\infty} = \frac{3}{\sqrt{1}} = \bm{3}$

А затем решаем предел функции до отрицательной бесконечности:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^2+2}}= \frac{-\infty}{+\infty} = \frac{-3}{\sqrt{1}} = \bm{-3}$

➤ Если у вас есть какие-либо сомнения относительно того, как были решены пределы бесконечности, мы рекомендуем проверить ссылку выше, как решить бесконечную неопределенность между бесконечностью.

В данном случае мы получили два разных значения пределов на бесконечности. Таким образом, функция имеет две горизонтальные асимптоты: y=3 — горизонтальная асимптота функции справа и, с другой стороны, y=-3 — горизонтальная асимптота функции слева.

Упражнение 3

Вычислите горизонтальные асимптоты следующей кусочно-определенной функции:

$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{lcl}\displaystyle\frac{3x-1}{x^2}& \text{si} & x<4\\[4ex]\displaystyle\frac{x^3-2x+5}{2x^3-9} & \text{si} & x\geq 4 \end{array} \right.$

посмотреть решение

Для расчета горизонтальных асимптот функции формулы не существует, но необходимо вычислить пределы плюс и минус бесконечности.

Таким образом, чтобы найти хотя бы бесконечный предел, мы берем функцию, определенную в первом разделе:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{3x-1}{x^2}= \frac{-\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Таким образом, линия y=0 является горизонтальной асимптотой слева от функции.

И теперь мы вычисляем предел плюс бесконечность, взяв функцию, определенную во втором разделе:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^3-2x+5}{2x^3-9}= \frac{+\infty}{+\infty}=\mathbf{\frac{1}{2}}$

Таким образом, линия y=1/2 является горизонтальной асимптотой справа от функции.

Что такое горизонтальная асимптота?

Как вычислить горизонтальную асимптоту функции

Пример горизонтальной асимптоты

Решенные задачи горизонтальных асимптот

Упражнение 1

Упражнение 2

Упражнение 3

Оставьте комментарий Отменить ответ