Синусоидальная функция

На этой странице вы найдете все о функции синус: что это такое, какова ее формула, как ее представить на графике, характеристики этого вида функции, амплитуда, период и т.д. Кроме того, вы сможете увидеть различные примеры синусоидальных функций, чтобы полностью понять концепцию. Он даже объясняет теорему о синусе и взаимосвязь функции синуса с другими тригонометрическими соотношениями.

формула функции синуса

Синус угла α — это тригонометрическая функция, формула которой определяется как отношение противоположного катета к гипотенузе прямоугольного треугольника (треугольника с прямым углом).

Этот тип математической функции часто обозначается сокращением «sin» или «sin» (от латинского sinus ). Кроме того, ее также можно назвать синусоидальной, синусоидальной или синусоидальной функцией.

Функция синуса — одно из самых известных тригонометрических отношений, наряду с косинусом и тангенсом угла.

Характеристические значения функции синуса

Некоторые углы часто повторяются и поэтому удобно знать значение функции синуса при этих углах:

характерные или типичные значения функции синуса

Таким образом, знак функции синуса зависит от квадранта, в котором находится угол: если угол находится в первой или второй четверти, то синус будет положительным, с другой стороны, если угол попадает в третью или четвертую четверть , синус будет отрицательным.

Графическое представление функции синуса

С помощью таблицы значений, которую мы видели в предыдущем разделе, мы можем построить график функции синуса. Итак, когда мы построим график функции синуса, мы получим:

Как видно из графика, значения изображений функции синус всегда находятся между +1 и -1, то есть она ограничена сверху +1, а снизу -1. Кроме того, значения повторяются каждые 360 градусов (2π радиан), поэтому это периодическая функция , период которой равен 360º.

С другой стороны, в этом графике мы прекрасно понимаем, что функция синус нечетна, поскольку ее противоположные элементы имеют противоположные образы, или, другими словами, она симметрична относительно начала координат (0,0). Например, синус 90° равен 1, а синус -90° равен -1.

Свойства функции синуса

Синусоидальная функция имеет следующие характеристики:

Областью определения синусоидальной функции являются все действительные числа, поскольку, как показывает график, функция существует для любого значения независимой переменной x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Путь или диапазон синусоидальной функции составляет от минус 1 до плюс 1 (оба включительно).

$\text{Im } f= [-1,1]$

Это непрерывная и нечетная функция с периодичностью 2π.

$\displaystyle \text{sen}(-x) =- \text{sen }x$

Этот тип тригонометрической функции имеет единственную точку пересечения с осью y (ось Y) в точке (0,0).

$(0,0)$

Вместо этого он периодически пересекает абсциссу (ось X) в нескольких координатах числа Пи.

$(k\pi,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Максимум синусоидальной функции возникает, когда:

$x = \cfrac{\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

И наоборот, минимум синусоидальной функции возникает при:

$x = \cfrac{3\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

Производной функции синуса является косинус:

$f(x)=\text{sen } x \ \longrightarrow \ f'(x)= \text{cos } x$

Наконец, интеграл от синусоидальной функции — это косинус с измененным знаком:

$\displaystyle \int \text{sen } x \ dx= -\text{cos } x + C$

Период и амплитуда синусоидальной функции

Как мы видели на его графике, синусоидальная функция является периодической функцией, то есть ее значения повторяются с определенной частотой. Кроме того, от его амплитуды зависят максимальное и минимальное значения, между которыми он колеблется. Следовательно, двумя характеристиками, определяющими синусоидальную функцию, являются ее период и амплитуда:

$\displaystyle f(x)= A\text{sen}(wx)$

Период синусоидальной функции — это расстояние между двумя точками, в которых график повторяется, и рассчитывается по следующей формуле:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

Амплитуда синусоидальной функции эквивалентна коэффициенту перед синусоидальным термином.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Ниже вы можете увидеть график, показывающий эффекты изменения периода или амплитуды:

В функции, показанной зеленым, мы видим, что при удвоении амплитуды функция переходит от +2 к -2 вместо +1 к -1. С другой стороны, в функции, показанной красным, вы можете видеть, как она работает в два раза быстрее, чем «каноническая» функция синуса, поскольку ее период уменьшен вдвое.

теорема синуса

Хотя синус обычно применяется к прямоугольным треугольникам, существует также теорема, которая работает для любого типа треугольников: теорема синусов.

Закон синусов связывает стороны и углы любого треугольника следующим образом:

$\cfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \cfrac{b}{\text{sen }\beta} = \cfrac{c}{\text{sen }\gamma}$

Связь функции синуса с другими тригонометрическими отношениями

Ниже вы найдете синусоидальные зависимости с наиболее важными тригонометрическими отношениями в тригонометрии.

Косинус коэффициент

График косинуса эквивалентен синусоиде, но смещен
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

слева, поэтому две функции могут быть связаны следующим выражением:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \text{cos}\left(\alpha - \frac{\pi}{2} \right)$

Вы также можете связать синус и косинус с фундаментальным тригонометрическим тождеством:

$\displaystyle \text{sen}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha=1$

отношение к касательной

Хотя это сложно доказать, синус можно выразить только через тангенс:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \pm \cfrac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Связь с косекансом

Синус и косеканс являются мультипликативными обратными числами:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\text{csc }\alpha}$

Отношения с секансом

Синус можно стереть так, чтобы он зависел только от секущей:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{\sqrt{\text{sec }\alpha -1 } }{\text{sec }\alpha}$

Связь с котангенсом

Синус и котангенс угла связаны следующим уравнением:

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\sqrt{1+\text{cot}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$