▷ Производная арктангенса (формула и примеры)

В этой статье вы узнаете, как найти арктангенс функции. Кроме того, вы сможете увидеть примеры такого типа производной и даже попрактиковаться с решением упражнений на производную арктангенса. Наконец, мы также покажем вам доказательство формулы для производной арктангенса.

Что является производной арктангенса?

Производная арктангенса x равна единице плюс x в квадрате.

$f(x)=\text{arctan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{1+x^2}$

Следовательно, производная арктангенса функции равна частному производной этой функции, деленному на единицу, плюс квадрат этой функции.

$f(x)=\text{arctan}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

В данном случае функция была представлена как au, так что это будет формула для производной арктангенса функции u.

Как видите, формула производной обратного тангенса очень похожа на формулы производных арксинуса и арккосинуса.

Примеры производной арктангенса

Как только мы узнаем формулу производной арктангенса, мы объясним вывод нескольких примеров этого типа тригонометрических производных. Так вам будет легче понять, как получается арктангенс функции.

Пример 1: Производная арктангенса 2x

$f(x)=\text{arctan}(2x)$

Применим формулу для решения производной:

$f(x)=\text{arctan}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

Производная 2x равна 2, поэтому арктангенс производной 2x равен 2 по единице плюс 2x в квадрате:

$f(x)=\text{arctan}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{1+(2x)^2}}=\cfrac{2}{1+ 4x^2}$

Пример 2: Производная арктангенса x в квадрате

$f(x)=\text{arctan}(x^2)$

Чтобы найти результат производной этого примера, нам нужно использовать формулу производной арктангенса, которая имеет вид:

$f(x)=\text{arctan}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

Таким образом, производная функции x ² равна 2x, поэтому производная арктангенса x, возведенного в степень 2, равна:

$f(x)=\text{arctan}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{1+\left(x^2\right)^2}=\cfrac{2x}{1+x^4}$

Пример 3: Производная арктангенса синуса x

$f(x)=\text{arctan}\bigl(\text{sen}(x)\bigr)$

Логично, что для расчета производной необходимо применить соответствующую формулу:

$f(x)=\text{arctan}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1+u^2}$

В данном случае у нас есть составная функция, поэтому мы должны применить цепное правило для вычисления производной арктангенса:

$f(x)=\text{arctan}\bigl(\text{sen}(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{\text{cos}(x)}{1+\text{sen}^2(x)}$

Решенные упражнения на производную арктангенса

Выведите следующие функции арктангенса:

$\text{A) } f(x)=\text{arctan}(x^3)$

$\text{B) } f(x)=\cfrac{\text{arctan}(3x^4)}{2}$

$\text{C) } f(x)=\text{arctan}(x^5-3x^3+10)$

$\text{D) }f(x)=\text{arctan}^3(4x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{arctan}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) } f(x)=\text{arctan}\left(\sqrt{x^2+2x}\right)$

Посмотреть решение

$\text{A) } f'(x)=\cfrac{3x^2}{1+\left(x^3\right)^2}=\cfrac{3x^2}{1+x^6}$

$\text{B) } f'(x)=\cfrac{12x^3}{2\left(1+\left(3x^4\right)^2\right)}=\cfrac{6x^3}{1+9x^8}$

$\text{C) } f'(x)=\cfrac{5x^4-9x^2}{1+\left(x^5-3x^3+10\right)^2}$

$\text{D) } f'(x)=3\text{arctan}^2(4x^2)\cdot \cfrac{8x}{1+\left(4x^2\right)^2}=\cfrac{24x\cdot\text{arctan}^2(4x^2)}{1+16x^2}$

$\text{E) } f'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}}{1+\bigl(\ln(x)\bigr)^2}=\cfrac{1}{x\left(1+\ln^2(x)\right)}$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{1}{1+\left(\sqrt{x^2+2x}\right)^2}\cdot \cfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}=\cfrac{x+1}{\left(1+x^2+2x\right)\sqrt{x^2+2x}}$

Демонстрация формулы производной арктангенса

Далее мы докажем формулу производной арктангенса.

$y=\text{arctan}(x)$

Сначала мы преобразуем арктангенс в тангенс, воспользовавшись тем фактом, что арктангенс является обратной функцией тангенса:

$x=\text{tan}(y)$

Дифференцируем две части уравнения:

$1=\cfrac{1}{\text{cos}^2(y)}\cdot y'$

Стираем и’:

$y'=\text{cos}^2(y)$

С другой стороны, благодаря фундаментальному тригонометрическому тождеству мы знаем, что сумма квадратов синуса и косинуса равна 1. Поэтому мы можем преобразовать предыдущее выражение в дробь:

$\text{sen}^2(y)+\text{cos}^2(y)=1$