Трехчлен в квадрате

На этой странице мы объясняем, как решить квадрат трехчлена (формула). Кроме того, вы сможете увидеть несколько примеров и попрактиковаться в упражнениях, решаемых шаг за шагом трехчленов в квадрате.

Формула квадрата трехчлена

Логически, чтобы понять формулу квадрата трехчлена, сначала нужно знать, что такое трехчлен . Я оставляю вам эту ссылку на случай, если вы захотите просмотреть ее, прежде чем продолжить объяснение.

Квадрат трехчлена равен квадрату первого члена плюс квадрат второго члена плюс квадрат третьего члена плюс удвоенное произведение первого члена на второе, плюс удвоенное произведение первого члена на третье, плюс удвоенное произведение первого члена. второй за третий.

квадрат трехчлена или трехчлен в квадрате

Квадрат трехчлена так важен, потому что это знатное произведение (или знатное тождество), то есть существует математическая формула, позволяющая быстро вычислить эту операцию. Нажмите на следующую ссылку, чтобы узнать, каковы все известные формулы продуктов .

Примеры квадратов трехчленов

После того, как мы увидели, какова формула квадрата трехчлена, мы увидим несколько примеров вычисления квадрата трехчлена:

Пример 1

Вычислите следующую степень трехчлена в квадрате:

$\left(x^2+x+3\right)^2$

Формула квадрата трехчлена:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Поэтому мы должны сначала определить значения параметров

$a,b$

$c$

формулы. В этом упражнении

$a$

Восток

$x^2,$

коэффициент

$b$

соответствуют

$x,$

$c$

является независимым членом 3:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

А когда мы уже знаем значения, просто подставляем эти значения в формулу и производим расчеты:

С другой стороны, следует отметить, что трехчлен в квадрате — это не то же самое, что трехчлен в квадрате . Это распространенная ошибка, поскольку многие путают эти два понятия. Посмотреть различия между этими двумя типами трёхчленов можно по ссылке в этом параграфе.

Пример 2

Найдите следующий квадрат трехчлена:

$\left(x^2-2x+4\right)^2$

Чтобы определить эту степень полинома, мы должны применить формулу для трехчлена, возведенного в два:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

В этой проблеме

$a$

Это эквивалентно

$x^2,$

$b$

соответствует отрицательному моному

$-2x,$

$c$

это номер 4:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2-2x+4\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=-2x \\[2ex] c=4 \end{array}$

Итак подставляем найденные значения в формулу и решаем полученные операции:

$\begin{array}{l} \left(x^2-2x+4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(-2x)^2+4^2+2\cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 4 +2 \cdot (-2x) \cdot 4 = \\[2ex] = x^4+4x^2+16-4x^3 + 8x^2 -16x = \\[2ex] = x^4-4x^3+12x^2-16x+16 \end{array}$

Помните, что степень с четным показателем отрицательного основания дает положительный член, поэтому

$(-2x)^2$

равно

$4x^2.$

Теперь, когда вы увидели, как вычисляется квадрат трехчлена, вам, вероятно, также будет интересно узнать, как найти произведение суммы на разность двух членов. Фактически, он входит в тройку примечательных (наиболее важных) личностей. Вы можете увидеть, какова его формула и как она применяется, на связанной странице.

Демонстрация формулы квадрата трехчлена

Чтобы закончить понимание понятия степени трехчлена в квадрате, выведем формулу, которую мы только что изучили.

Из любого трехчлена, возведенного в 2:

$(a+b+c)^2$

Алгебраическое выражение, приведенное выше, эквивалентно умножению трехчлена в скобках на самого себя:

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Теперь перемножим два трёхчлена:

$(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

Наконец, мы группируем похожие термины:

$a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

И таким образом мы уже пришли к выражению формулы, поэтому продемонстрирована формула квадрата трехчлена:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

На нашем сайте есть еще больше демонстраций известных личностей. Например, вы можете увидеть демонстрацию формулы квадрата суммы и квадрата разности . Более того, в этих ссылках вы увидите не только их доказательства, но и геометрическую интерпретацию их формул, то есть то, что геометрически означают эти виды замечательных тождеств.

Решенные задачи о квадратах трехчленов

Решите следующие квадратные трехчлены:

$\text{A)} \ \left(x^2+x+5\right)^2$

$\text{B)} \ \left(x^2+3x-4\right)^2$

$\text{C)} \ \left(4x^2-6x+3\right)^2$

$\text{D)} \ \left(x^3-3x^2-9x\right)^2$

посмотреть решение

Для решения всех упражнений нам необходимо воспользоваться формулой квадрата трехчлена, которая имеет вид:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}$

Формула квадрата трехчлена

Примеры квадратов трехчленов

Пример 1

Пример 2

Демонстрация формулы квадрата трехчлена

Решенные задачи о квадратах трехчленов

Оставьте комментарий Отменить ответ