▷ Производная синуса (формула и упражнения решены)

В этой статье мы объясним, как создать производную синуса (формулу). Вы найдете примеры производных синусоидальных функций и решенные пошаговые упражнения для практики. Кроме того, мы покажем вам вторую производную синуса, обратную производную синуса и даже продемонстрируем формулу производной синуса.

Что такое производная синуса?

Производная функции синуса – это функция косинуса. Следовательно, производная синуса x равна косинусу x.

$f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)$

Если в аргументе синуса присутствует функция, производная синуса — это косинус указанной функции, умноженный на производную функции.

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Эта вторая формула для производной синуса получается применением цепного правила к первой формуле. Итак, вкратце, формула производной синуса выглядит так:

Примеры производной синуса

После того, как мы увидели, что такое формула производной синуса, мы объясним несколько примеров тригонометрических производных этого типа, чтобы вы полностью поняли, как вывести функцию синуса.

Пример 1: Производная синуса 2x

$f(x)=\text{sen}(2x)$

В аргументе синуса у нас есть функция, отличная от x, поэтому нам нужно использовать следующую формулу для получения синуса:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Производная 2x равна 2, поэтому производная синуса 2x является произведением косинуса 2x на 2.

$f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)$

Пример 2: Производная синуса x в квадрате

$f(x)=\text{sen}(x^2)$

Формула производной синуса:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

А поскольку производная х ² равна 2х, то производная синуса х, возведенного в степень 2, равна:

$f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x$

Пример 3: Производная синуса в кубе

$f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)$

В этом примере функция синуса состоит из другой функции, поэтому мы должны использовать следующее правило для дифференцирования синуса:

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)$

➤ Чтобы вывести эту функцию, необходимо также применить формулу производной степени .

Вторая производная синуса

Затем мы проанализируем вторую производную функции синуса, поскольку, будучи тригонометрической функцией, она имеет определенные характеристики.

Как мы видели выше, производная синуса – это косинус. Итак, производная косинуса равна синусу, но поменяла знак. Это означает, что вторая производная синуса — это сам синус, но с измененным знаком .

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}$

Однако если аргумент синуса не равен x, это условие изменится, поскольку нам нужно перетащить термин цепного правила:

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}$

Обратная синусоидальная производная

Как известно, каждая тригонометрическая функция имеет обратную функцию, поэтому обратный синус также дифференцируем.

Производная обратного синуса равна частному производной функции аргумента, деленной на квадратный корень из единицы минус квадрат функции аргумента.

$f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Помните, что обратный синус также называют арксинусом.

Например, обратная производная синуса от 5x равна:

$f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$

Решенные упражнения на производную синуса

Вычислите производные следующих синусоидальных функций:

$\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)$

$\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)$

Посмотреть решение

$\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)$

$\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)$

$\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}$

$\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)$

$\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}$

$\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4$

Демонстрация производной синуса

В этом разделе мы покажем, что производная синуса x является косинусом x, используя определение производной, а именно:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

В этом случае выводимая функция — это sin(x), поэтому:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}$

Синус суммы можно переписать, применив следующее тригонометрическое тождество:

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}$

Преобразуем дробь в две дроби с одинаковым знаменателем. Мы можем проделать эту операцию благодаря закону предела суммы.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}$

➤ См.: законы пределов.

Члены синус x и косинус x не зависят от значения h, поэтому мы можем вывести их за пределы:

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}$

Все, что нам нужно сделать сейчас, это применить эти два тригонометрических предела:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

➤ Примечание. Демонстрацию двух предыдущих тригонометрических пределов вы можете поискать в поисковике нашего сайта.

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1$

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)$

И таким образом мы показываем, что производная синуса x является косинусом x.

Получено из груди

Что такое производная синуса?

Примеры производной синуса

Пример 1: Производная синуса 2x

Пример 2: Производная синуса x в квадрате

Пример 3: Производная синуса в кубе

Вторая производная синуса

Обратная синусоидальная производная

Решенные упражнения на производную синуса

Демонстрация производной синуса

Оставьте комментарий Отменить ответ